Cho 4 điểm $A(1 ; 2 ;-2) ; B(2 ; 2 ; 0) ; C(0 ; 5 ;-1) ; D(3 ; 2 ; x)$. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC .Tính giá trị của biểu thức $f=\overrightarrow {GC}.\overrightarrow {GC}$
 

Nhà của ba bạn A,B,C nằm ở ba vị trí tạo thành một tam giác vuông tại B như hình vẽ, biết AB =10 kmkmBC =25km,  và ba bạn tổ chức họp mặt tại nhà bạn C. Bạn B hẹn chở bạn A tại vị trí M trên đoạn đường BC. Giả sử luôn có xe buýt đi thẳng từ A đến M. Từ nhà bạn A đi xe buýt thẳng đến điểm hẹn M với tốc độ 30km/h và từ M hai bạn A,B di chuyển đến nhà bạn C theo đoạn đường MC bằng xe máy với vận tốc 50km/h . Hỏi 5MB+3MC bằng bao nhiêu km để bạn A đến nhà bạn C nhanh nhất?

Trong không gian Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là: $d:\frac{x}{1} = \frac{{y – 6}}{{ – 4}} = \frac{{z – 6}}{{ – 3}}$. Biết rằng điểm $M\left( {0\,;5\,;3} \right)$ thuộc đường thẳng AB và điểm $N\left( {1\,;1\,;0} \right)$ thuộc đường thẳng AC. Một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u$ của đường thẳng AC có tọa độ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng $d: \frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{2}$ và $d^{\prime}: \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{1}$ . Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng d và d'.

Trong không gian Oxyz , mp (P)đi qua $A(1 ;-2 ; 3)$ và vuông góc với đường thẳng $(d): \frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{3}$ có phương trình là.
 

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua hai điểm $A(1 ; 2 ; 0), B(2 ; 3 ; 1)$ và song song với trục Oz có phương trình là.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $\Delta_{1}: \frac{x+1}{3}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{2}$ và $\Delta_{2}: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{3}$ . Phương trình đường thẳng song song với $d:\left\{\begin{array}{l} x=3 \\ y=-1+t \\ z=4+t \end{array}\right.$ và cắt hai đường
thẳng $\Delta_{1} ; \Delta_{2}$ là 

Cho 4 điểm $A\,(1;1;0);\,\,B\,(0;2;1);\,\,C\,(1;0;2);\,\,D\,(1;1;1)$. Tính độ dài đường cao hạ từ A của từ diện.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: ^x2 + y² + z²- 2x - 2y - 4z + 5 = 0

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Trong không gian với hệ trục  Oxyz , cho mặt cầu $( S ) : x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4 y + 4z + 5 = 0$.  Tọa độ tâm và bán kính của  (S ) là
 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm $M\left( {3;0;0} \right),\,N\left( {0;0;4} \right)$. Tính độ dài đoạn thẳng MN.

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với $A\left( {1\,;1\,;1} \right),B\left( { – 1\,;1\,;0} \right),C\left( {1\,;3\,;2} \right)$. Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC nhận vectơ nào dưới đây làm một vectơ chỉ phương?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) đi qua điểm A(1 ;-2 ; 3) và có  tâm $I(2 ; 2 ; 3)$ có dạng là.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điềm M(6 ; 2 ;-5), N(-4 ; 0 ; 7) . Viết phương trình măt cầu đường kính MN? ?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P: 3x-4y+5z-2 = 0. Véc-tơ nào dưới đây là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng P?

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z – 3 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}$. Đường thẳng d’ đối xứng với d qua mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình là

Trong không gian Oxyz cho đường tròn: $\left( C \right):\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y + 6z + 17 = 0\\ x - 2y + 2z + 1 = 0 \end{array} \right.$

Tọa độ tâm H của (C) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm $E(2 ; 1 ; 1), F(0 ; 3 ;-1)$ . Mặt cầu (S) đường kính EF có phương trình là
 

rong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng $(P): 2 x+4 y+3 z-5=0 \text { và }(Q): m x-n y-6 z+2=0 \text { . }$ Giá trị của m , n sao cho (P) song song với (Q) là: 

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( {2;1; – 1} \right),B\left( {1;2;3} \right)$. Độ dài đoạn thẳng AB bằng:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left( {1\,;3\,;2} \right),B\left( {2\,; – 1\,;5} \right),C\left( {3\,;2\,; – 1} \right)$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua A và vuông góc với mặt phẳng đi qua ba điểm $A\,,B\,,C$ có phương trình là?