Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng \(d: \frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{2}\) và \(d^{\prime}: \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{1}\) . Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng d và d'.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(d \text { có vectơ chỉ phương } \vec{u}=(2 ; 3 ; 2) \text { , đi qua } M(-1 ;-1 ; 1) \text { . }\)
\(d^{\prime} \text { có vecto chỉ phương } \overrightarrow{u^{\prime}}=(2 ; 1 ; 1) \text { , đi qua } M^{\prime}(1 ;-2 ; 3) \text { . }\)
\(\begin{array}{l} \text { Ta có: }\left[\vec{u}, \overrightarrow{u^{\prime}}\right]=(1 ; 2 ;-4), \overrightarrow{M M^{\prime}}=(2 ;-1 ; 2) \Rightarrow\left[\vec{u}, \overrightarrow{u^{\prime}}\right] \cdot \overrightarrow{M M^{\prime}}=1.2+2 \cdot(-1)+(-4) \cdot 2=-8 \neq 0 \\ \Rightarrow d, d^{\prime} \text { chéo nhau. } \end{array}\)
Khi đó: khoảng cách h giữa hai đường thẳng \(d \text { và } d^{\prime} \text { là: } h=\frac{\left|\left[\vec{u}, \vec{u}^{\prime}\right] .\overline{M M^{\prime}}\right|}{\left|\left[\vec{u}, \vec{u}^{\prime}\right]\right|}=\frac{8}{\sqrt{21}}=\frac{8 \sqrt{21}}{21} \text { . }\)
