Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x – 12}}{4} = \frac{{y – 9}}{3} = \frac{{z – 1}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x + 5y – z – 2 = 0\). Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của d lên \(\left( P \right)\). Phương trình tham số của d’ là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiMặt phẳng \(\left( P \right)\) có một VTPT là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3\,;5\,; – 1} \right)\).
Đường thẳng d có PTTS: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 12 + 4t\\y = 9 + 3t\\z = 1 + t\end{array} \right.\) . Gọi \(A = d \cap \left( P \right) \Rightarrow A\left( {12 + 4t\,;9 + 3t\,;1 + t} \right)\)
Vì \(A \in \left( P \right) \Rightarrow 3\left( {12 + 4t} \right) + 5\left( {9 + 3t} \right) – \left( {1 + t} \right) – 2 = 0 \Leftrightarrow t = – 3 \Rightarrow A\left( {0\,;0\,; – 2} \right)\).
Đường thẳng d đi qua điểm \(B\left( {12\,;9\,;1} \right)\). Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Đường thẳng BH đi qua \(B\left( {12\,;9\,;1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{BH}}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {3\,;5\,; – 1} \right)\)
có PTTS là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 12 + 3t\\y = 9 + 5t\\z = 1 – t\end{array} \right.\) và \(H \in BH \Rightarrow H\left( {12 + 5t\,;9 + 3t\,;1 – t} \right)\).
Vì \(H \in \left( P \right) \Rightarrow 3\left( {12 + 3t} \right) + 5\left( {9 + 5t} \right) – \left( {1 – t} \right) – 2 = 0 \Leftrightarrow t = – \frac{{78}}{{35}} \Rightarrow H\left( {\frac{{186}}{{35}}; – \frac{{15}}{7}\,;\frac{{113}}{{35}}} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AH} = \left( {\frac{{186}}{{35}}\,; – \frac{{15}}{7}\,;\frac{{183}}{{35}}} \right)\). Chọn một VTCP của đường thẳng d’ là \(\overrightarrow {u’} = \left( {62\,; – 25\,;61} \right)\)
Đường thẳng d’ đi qua \(A\left( {0\,;0\,; – 2} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {u’} = \left( {62\,; – 25\,;61} \right)\) có PTTS: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 62t\\y = – 25t\\z = – 2 + 61t\end{array} \right.\).
