Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , \(\widehat{A B C}=60^{\circ}, B C=2 a\) . Gọi D là điểm thỏa mãn \(3 \overrightarrow{S B}=2 \overrightarrow{S D}\) . Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đoạn BC sao cho \(B C=4 B H\). Tính góc giữa hai đường thẳng AD và SC biết SA tạo với mặt đáy một góc 60o .
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
\(\begin{array}{l} \text { Ta có } A H^{2}=B H^{2}+B A^{2}-2 \cdot B H \cdot B A \cdot \cos 60^{\circ}=\frac{a^{2}}{4}+a^{2}-2 \cdot \frac{a}{2} \cdot a \cdot \frac{1}{2}=\frac{3 a^{2}}{4} \Rightarrow A H=\frac{a \sqrt{3}}{2} \text { . } \\ \tan 60^{\circ}=\frac{S H}{A H} \Rightarrow S H=A H \cdot \sqrt{3}=\frac{3 a}{2} \\ A C=B C \cdot \sin 60^{\circ}=2 a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=a \sqrt{3}, H C=\frac{3}{4} B C=\frac{3 a}{2} \end{array}\)
Ta có \(A H^{2}+H C^{2}=\frac{9 a^{2}}{4}+\frac{3 a^{2}}{4}=3 a^{2}=A C^{2}\) nên tam giác AHC vuông tại H , tức là \(A H \perp H C\).
Chọn a =1 và chọn hệ trục tọa độ Oxyz (như hình vẽ) sao cho \(O \equiv H(0 ; 0 ; 0), C\left(\frac{3}{2} ; 0 ; 0\right), A\left(0 ; \frac{\sqrt{3}}{2} ; 0\right), S\left(0 ; 0 ; \frac{3}{2}\right)\)
\(\begin{aligned} &\text { Suy ra } B\left(-\frac{1}{2} ; 0 ; 0\right) \cdot \overrightarrow{S B}=\left(-\frac{1}{2} ; 0 ;-\frac{3}{2}\right) \Rightarrow \overrightarrow{S D}=\left(-\frac{3}{4} ; 0 ;-\frac{9}{4}\right) \Rightarrow D\left(-\frac{3}{4} ; 0 ;-\frac{3}{4}\right)\\ &\text { Ta có } \overrightarrow{D A}=\left(\frac{3}{4} ; \frac{\sqrt{3}}{2} ; \frac{3}{4}\right) \Rightarrow \vec{u}=(\sqrt{3} ; 2 ; \sqrt{3}) \text { là một vécto chỉ phương của } A D\\ &\overrightarrow{S C}=\left(\frac{3}{2} ; 0 ;-\frac{3}{2}\right) \Rightarrow \vec{v}=(1 ; 0 ;-1) \text { là một véctơ chỉ phương của } S C \end{aligned}\)
Ta có \(\vec{u} \cdot \vec{v}=0 \Rightarrow A D \perp S C\)
Vậy góc giữa hai đường thẳng AD và SC bằng 90o
