Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz,  cho mặt cầu \((S): x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2 y - 2z -3 = 0\) . Tìm tọa độ tâm  I  và bán kính  R  của (S ).

 

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình làx²+y²+z²-2x-4y-6z+5 = 0. Tính diện tích mặt cầu (S).

Một sợi dây có chiều dài là 6m , được chia thành hai phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình tam giác đều, phần thứ hai uốn thành hình vuông. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để tổng diện tích hai hình thu được là nhỏ nhất?

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = t\\z = 2 – t\end{array} \right.\) . Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) có tọa độ là

Cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4z - 4 = 0\) và ba điểm \(A\left( {1,2, - 2} \right);B\left( { - 4,2,3} \right);C\left( {1, - 3,3} \right)\) nằm trên mặt cầu (S).

Bán kính r của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là :

Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(1;2;-3) và d vuông góc với mặt phẳng (P): 3x + y + 1 = 0

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm B(2;-1;3) và mặt phẳng (P): 2x-3y+3z-4=0 . Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm B và vuông góc mp (P) có phương trình là
 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d có phương trình \(d:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{2} = z - 3\). Véc tơ nào dưới đây là véctơ chỉ phương của đường thẳng d ?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm \(E(2 ; 1 ; 1), F(0 ; 3 ;-1)\) . Mặt cầu (S) đường kính EF có phương trình là
 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1; – 2; – 3} \right),B\left( { – 1;4;1} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z + 3}}{2}\). Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và song song với d?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba vec tơ \(\vec{a}=(-1 ; 1 ; 0), \vec{b}=(1 ; 1 ; 0), \vec{c}=(1 ; 1 ; 1)\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) đi qua hai điểm \(A(1 ; 1 ; 2), B(3 ; 0 ; 1)\) và có tâm thuộc trục Ox . Phương trình của mặt cầu (S) là:
 

Trong không gian Oxyz, một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \) của đường thẳng \(\Delta \) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow a = 3\overrightarrow i – 5\overrightarrow j + 4\overrightarrow k \) có tọa độ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng \(d: \frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{-1}\)và đi qua điểm \(A'(0; 2;2)\)..
 

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 3}}{{ – 1}}\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 5} \right)^2} = 36\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\left( {2;1;3} \right)\), vuông góc với đường thẳng d và cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm có khoảng cách lớn nhất. Khi đó đường thằng \(\Delta \) có một véctơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {1;a;b} \right)\). Tính a + b.

Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB với \(A\left( {4, - 3,5} \right);B\left( {2,1,3} \right)\).

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , \(\widehat{A B C}=60^{\circ}, B C=2 a\) . Gọi D là điểm thỏa mãn \(3 \overrightarrow{S B}=2 \overrightarrow{S D}\) . Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đoạn BC sao cho \(B C=4 B H\). Tính góc giữa hai đường thẳng AD và SC biết SA tạo với mặt đáy một góc 60^o . 

Trong không gian Oxyz , đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(d:\left\{\begin{array}{l} x=1+t \\ y=0 \\ z=-5+t \end{array}\right.\) và \(d^{\prime}:\left\{\begin{array}{l} x=0 \\ y=4-2 t^{\prime} \\ z=5+3 t^{\prime} \end{array}\right.\) có phương trình là

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện |z+1| ≤ 2 là

Trong không gian Oxyz , mp (P) vuông góc với đường thẳng \(\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{2}\) thì có vec tơ pháp tuyến là:
 

Trong không gian Oxyz cho các điểm \(A(3 ; 0 ; 0), B(0 ; 3 ; 0), C(0 ; 0 ; 3)\). Gọi (S) là mặt cầu có đường tròn lớn cũng là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Mệnh đề nào sau đây đúng.