Có bao nhiêu giá trị nguyên ucra tham số m để hàm số \(y = x⁸ + (m - 2) x⁵ - (m² - 4) x⁴ + 1\) đạt cực tiểu tại x=0
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(y = x⁸ + (m - 2) x⁵ - (m² - 4) x⁴ + 1 \Rightarrow y' = 8x⁷ + 5 (m - 2) x⁴ - 4 (m² - 4) x³ \\ y' = 0\Rightarrow x³ (8x⁴ + 5(m - 2) x - 4 (m² - 4)) = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ g\left( x \right) = 8{x^4} + 5\left( {m - 2} \right)x - 4\left( {{m^2} - 4} \right) = 0 \end{array} \right.\)
Xét hàm số : \(g ( x ) = 8x⁴ + 5(m - 2) x - 4 (m² - 4) \,\,\rm{có}\,\,g'( x) = 32x³ + 5(m - 2) . \)
Ta thấy g'(c)=0 có một nghiệm nên g(x)=0 có tối đa hai nghiệm.
+TH1: Nếu g(c)=0 có nghiệm \(x=0\Leftrightarrow x=-2\,\,\,\rm{hoặc}\,\,\, x=2\)
Với m=2 thì x=0 là nghiệm bội 4 của g(x). Khi đó x=0 là nghiệm bội 7 của y' và y' đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x=0 nên x=0 là một điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m=2 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Với \(m = - 2 \Rightarrow g\left( x \right) = 8{x^4} - 20x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \sqrt[3]{{\frac{5}{2}}} \end{array} \right.\)
Khi đó x=0 là nghiệm đơn của g(x), hay x=0 là nghiệm bội 4 của y'. Vậy y' khi đi qua x=0 thì không đổi dấu. Nói cách khác x=0 không phải là cực trị của hàm số. Vậy m=-2 không thỏa mãn yêu cầu. Có thể thấy từ bảng biến thiên sau:
+ \(g(0)\ne0\Leftrightarrow m\ne\pm2\). Để hàm số đặt cực tiểu tại
\(x=0\Leftrightarrow g(0)>0\Leftrightarrow m^2-4>0\\ \Leftrightarrow -2<m<2\).
Do m là số nguyên nên \(m\in{\{-1;0;1\}}\).
Từ hai trường hợp suy ra có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số y = f( x) liên tục trên R. Hàm số y = f’ (x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số \(y = g\left( x \right) = f\left( x \right) + \frac{{2017 - 2018x}}{{2017}}\) có bao nhiêu cực trị?
-
Tìm số cực trị của hàm số y = x4 + 4x3
-
Tìm số điểm cực trị của hàm số y = x4 – 2x2 + 2
-
Cho hàm số \(y = {x^4} – 2m{x^2} + m\). Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số có 3 cực trị
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mm để đồ thị hàm số y = x4 − mx2 + 1 có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.
-
Tìm các giá trị của tham sốm để hàm số \(y=m x^{4}+\left(m^{2}-4 m+3\right) x^{2}+2 m-1\) có ba điểm cực trị?
-
Cho hàm số y=f(x) có \(f'\left( x \right) = x{\left( {x + 5} \right)^2}\). Điểm cực tiểu của hàm số là
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
.png)
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
-
Cho hàm số \(y=x^{3}+3 x^{2}-9\). Tìm m để đồ thị hàm số \(y=|f(x)+m|\) có ba điểm cực tiểu.
-
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: \(y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + {m^4} + 1\) có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc O tạo thành 1 tứ giác nội tiếp
-
Cho hàm số y = x4- 2( 1 - m2) x2+ m+1. Tồn tại giác trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất . Khi đó khẳng định nào đúng?
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = {x^8} + \left( {m – 2} \right){x^5} – \left( {{m^2} – 4} \right){x^4} + 1\) đạt cực tiểu tại x = 0
-
Trong các hàm số sau, hàm số nào có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu?
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2\) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương
-
Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau
Mệnh đề nào dưới đây sai?
-
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + {m^2}}}{{x + 1}}\) đạt cực đại tại x = 1 là
-
Cho hàm số y = x4-2( m2-m+1)x2+m-1 với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu, đồng thời khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.
-
Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số y = 2 cos 2x + 3
-
Số cực trị của hàm số \(f\left( x \right) = {{\rm{x}}^4} + \frac{3}{2}{{\rm{x}}^2} + 1\) là
