Cho số phức z thỏa mãn \(z + \frac{1}{z} = 1\).Tìm phần thực của số phức \({z^{2019}} + \frac{1}{{{z^{2019}}}}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGiải phương trình \(z + \frac{1}{z} = 1\) ta được 2 nghiệm là \({z_1} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\) và \({z_2} = \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\).
Ta thấy \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{z_1} = \overline {{z_2}} }\\{{z_2} = \overline {{z_1}} }\end{array}} \right.\) nên \({z_1}.{z_2} = {z_1}.\overline {{z_1}} = {z_2}.\overline {{z_2}} = 1\).
Do đó \({z_1}^{2019} + \frac{1}{{{z_1}^{2019}}} = z_1^{2019} + {(\overline {{z_1}} )^{2019}} = z_1^{2019} + z_2^{2019} = {z_2}^{2019} + \frac{1}{{{z_2}^{2019}}}\).
Lại có \({z_1} = cos\frac{\pi }{3} + isin\frac{\pi }{3}\) và \({z_2} = cos( – \frac{\pi }{3}) + isin( – \frac{\pi }{3})\)
Nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z_1^{2019} = cos\frac{{2019\pi }}{3} + isin\frac{{2019\pi }}{3} = cos673\pi + isin673\pi = – 1}\\{z_2^{2019} = cos( – \frac{{2019\pi }}{3}) + isin( – \frac{{2019\pi }}{3}) = cos( – 673\pi ) + isin( – 673\pi ) = – 1}\end{array}} \right.\)
Suy ra \(z_1^{2019} + z_2^{2019} = – 2\)
Vậy nếu số phức z thỏa mãn \(z + \frac{1}{z} = 1\) thì \({z^{2019}} + \frac{1}{{{z^{2019}}}} = – 2\)
