Với x,y là các số dương thỏa mãn \(x + y = 6.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = {x^2} + {y^2} + \frac{{33}}{{xy}}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVới x,y là các số dương thỏa mãn \(x + y = 6\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = {x^2} + {y^2} + \frac{{33}}{{xy}}\)
Với x, y là các số dương ta có: \( - {\left( {x - y} \right)^2} \le 0 \Rightarrow - {x^2} + 2xy - {y^2} \le 0\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} + 2xy + {y^2} \le 2{x^2} + 2{y^2} \Rightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{2} = \frac{{36}}{2} = 18\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} + {y^2} \ge 2xy \Rightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Rightarrow xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} = \frac{{36}}{4} = 9 \Rightarrow \frac{{33}}{{xy}} \ge \frac{{33}}{9}\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow P = {x^2} + {y^2} + \frac{{33}}{{xy}} \ge 18 + \frac{{33}}{9} = \frac{{65}}{3}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\x + y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 3\)
Vậy \({P_{\min }} = \frac{{65}}{3}\) đạt được khi \(x = y = 3.\)
Chọn A.
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số: \(y = - \frac{{{x^2}}}{4}\,\,(P);y = \frac{x}{2} - 2\,\,\,\left( d \right).\) Tính tọa độ giao điểm \(d\) và \(P).\)
-
Cho phương trình: \({x^2} + (2m - 3)x - m + 1 = 0\). Tìm \(m\) để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức: \(({x_1} - 3)({x_2} - 3) = 5.\)
-
Một đội xe theo kế hoạch chở hết 120 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm được 5 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hết số hàng đó trong bao nhiêu ngày?
-
Cặp số \(\left( { - 1;2} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây?
-
Cho hàm số: \(y = - \frac{1}{2}{x^2}\) có đồ thị là (P). Tìm các tọa độ giao điểm của (P) và đường thẳng (D): \(y = x - 4\) bằng phép toán.
-
Một đội xe định dùng một số xe cùng loại để chở hết 150 tấn hàng. Lúc sắp khởi hành có 5 xe phải điều đi làm việc khác. Vì vậy, mỗi xe phải chở thêm 5 tấn hàng nữa mới hết số hàng đó. Tính số xe lúc đầu của đội biết rằng khối lượng hàng mỗi xe chở là bằng nhau.
-
Cho hàm số: \(\left( P \right):\,\,y = \frac{{ - {x^2}}}{2},\,\,\,\left( d \right):\,\,y = \frac{3}{2}x - 2.\) Tìm tọa độ giao điểm d và P bằng phép toán.
-
Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 80m, biết ba lần chiều rộng kém 2 lần chiều dài là 5m. Tính diện tích mảnh đất.
-
Giải hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{x - 2}} + \frac{1}{{y + 1}} = 3\\\frac{3}{{x - 2}} - \frac{2}{{y + 1}} = 8\end{array} \right.\)
-
Tìm nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - x + y = - 5\\3x + 5y = - 1\end{array} \right..\)
-
Độ dài của một đường tròn là \(10\pi \) (cm). Diện tích của hình tròn đó là:
-
Giải phương trình bậc hai: \({x^2} - 2\sqrt 2 x - 7 = 0\)
-
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 70m. Tính diện tích khu vườn biết 2 lần chiều dài nhỏ hơn 3 lần chiều rộng 5m.
-
Tìm tập nghiệm phương trình: \(2{x^2} + 3x - 2 = 0.\)
-
Tìm nghiệm của phương trình: \(3\left( {{x^2} - 5} \right) = 4x\)
-
Tìm tập nghiệm của phương trình: \(3x(x - 2) = 11 - 2{x^2}.\)
-
Cho phương trình \({x^2} + mx - 1 = 0\) (với m là tham số). Tìm \(m\) để phương trình có các nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 5x_1^2x_2^2\)
-
Đường tròn đi qua 2 đỉnh và tiếp xúc cạnh 1 hình vuông. Tính bán kính R của đường tròn biết cạnh hình vuông là 12 cm.
-
Giải phương trình: \(3{x^2} - 26x + 48 = 0\)
-
Cho A là điểm thuộc nửa đường tròn (O) đường kính \(BC = 6cm\) và \(\angle ACB = {30^o}\). Tính AB, AC và diện tích phần tô đậm.
.JPG)
