Cho \(a,b,c > 0\) và \(a + b + c = 2019\).Tìm giá trị nhỏ nhất của: \(S = \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} + \sqrt {{b^2} - bc + {c^2}} + \sqrt {{c^2} - ca + {a^2}} \)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiCho \(a,b,c > 0\) và \(a + b + c = 2019\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của: \(S = \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} + \sqrt {{b^2} - bc + {c^2}} + \sqrt {{c^2} - ca + {a^2}} \)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a và b ta được :
\(\begin{array}{l}{a^2} + {b^2} \ge 2ab \Leftrightarrow 3{a^2} + 3{b^2} \ge 6ab \Leftrightarrow 4{a^2} - 4ab + 4{b^2} \ge {a^2} + 2ab + {b^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} - ab + {b^2} \ge \frac{1}{4}\left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right) = \frac{1}{4}{\left( {a + b} \right)^2}\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Do \(a,b > 0\) nên : \({a^2} + {b^2} - ab \ge 2ab - ab = ab > 0\)
\( \Rightarrow \,\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} \ge \frac{1}{2}\left| {a + b} \right| = \frac{1}{2}\left( {a + b} \right)\)
Tương tự ta cũng chứng minh được : \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{b^2} - bc + {c^2}} \ge \frac{1}{2}\left( {b + c} \right)\\\sqrt {{c^2} - ca + {a^2}} \ge \frac{1}{2}\left( {c + a} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow S = \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} + \sqrt {{b^2} - bc + {c^2}} + \sqrt {{c^2} - ca + {a^2}} \ge \frac{1}{2}\left( {a + b} \right) + \frac{1}{2}\left( {b + c} \right) + \frac{1}{2}\left( {c + a} \right) = a + b + c = 2019\)
Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\a + b + c = 2019\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 673\)
Vậy \({S_{\min }} = 2019\) đạt được khi \(a = b = c = 673\).
Chọn C.
Câu hỏi liên quan
-
Tìm tập nghiệm phương trình: \(2{x^2} + 3x - 2 = 0.\)
-
Cho A là điểm thuộc nửa đường tròn (O) đường kính \(BC = 6cm\) và \(\angle ACB = {30^o}\). Tính AB, AC và diện tích phần tô đậm.
.JPG)
-
Tìm \(m\) để \(d\)cắt \((P)\) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \({x_1}^2 + 3{x_2} - 4{x_1}{x_2} = 5.\)
-
Cặp số \(\left( { - 1;2} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây?
-
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{3}{{\sqrt x }} - \frac{{5\sqrt x + 3}}{{x + \sqrt x }}\,\,\,\,\,\left( {x > 0} \right).\)
-
Cho hàm số: \(y = - \frac{{{x^2}}}{4}\,\,(P);y = \frac{x}{2} - 2\,\,\,\left( d \right).\) Tính tọa độ giao điểm \(d\) và \(P).\)
-
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 70m. Tính diện tích khu vườn biết 2 lần chiều dài nhỏ hơn 3 lần chiều rộng 5m.
-
Tìm nghiệm của phương trình: \(3\left( {{x^2} - 5} \right) = 4x\)
-
Cho parabol \(\left( P \right):y = - {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = mx - 2\) (m là tham số). Tìm m sao cho \({x_1}^2{x_2} + {x_2}^2{x_1} + 5{x_1}{x_2} = 4026\).
-
Một đội xe dự định dùng một số xe cùng loại để chở 120 tấn hàng gửi tặng đồng bào nghèo ở vùng cao biên giới. Lúc sắp khởi hành đội được bổ sung thêm 5 xe nữa cùng loại. Nhờ vậy, so với ban đầu, mỗi xe phải chở ít hơn 2 tấn. Hỏi lúc đầu, đội có bao nhiêu xe? Biết khối lượng hàng mỗi xe phải chở như nhau.
-
Đường tròn đi qua 2 đỉnh và tiếp xúc cạnh 1 hình vuông. Tính bán kính R của đường tròn biết cạnh hình vuông là 12 cm.
-
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 7\\3x + 2y = 4\end{array} \right.\)
-
Tìm tập nghiệm của phương trình: \({(x + 1)^2} - 2x + 1 = {x^4}.\)
-
Một trường tổ chức cho 250 người bao gồm giáo viên và học sinh đi tham quan Suối Tiên. Biết giá vé vào cổng giáo viên là 80.000 đồng, học sinh là 60.000 đồng, đi vào đúng dịp giỗ tổ Hùng Vương nên giảm 5% vé vào, vì vậy nhà trường phải trả tổng cộng 14.535.000 đồng. Hỏi có bao nhiêu giáo viên và học sinh đi tham quan?
-
Cần pha bao nhiêu lít nước ở \({40^0}C\) và 8 lít nước ở \({70^0}C\) để thu được lượng nước \({60^0}C\)?
-
Với x,y là các số dương thỏa mãn \(x + y = 6.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = {x^2} + {y^2} + \frac{{33}}{{xy}}\)
-
Điều kiện của \(m\) để phương trình \({x^2} - 2mx + {m^2} - 4 = 0\) có hai nghiệm \({x_1} = 0,\,\,{x_2} > 0\) là:
-
Độ dài của một đường tròn là \(10\pi \) (cm). Diện tích của hình tròn đó là:
-
Giải hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{x - 2}} + \frac{1}{{y + 1}} = 3\\\frac{3}{{x - 2}} - \frac{2}{{y + 1}} = 8\end{array} \right.\)
-
Cho phương trình: \({x^2} + (2m - 3)x - m + 1 = 0\). Tìm \(m\) để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức: \(({x_1} - 3)({x_2} - 3) = 5.\)
