Tính giới hạn \(\lim \frac{{{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}}}{{{n^3} + 3n}}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiBằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}\)\( = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6},\)\(\forall n \ge 1,n \in \mathbb{Z}\).
Đẳng thức trên đúng với \(n = 1\) vì \(1 = \frac{{1.2.3}}{6}\).
Giả sử đẳng thức trên đúng đến \(n = k\)
\( \Rightarrow {1^2} + {2^2} + ... + {k^2}\) \( = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{6}\)
Ta cần chứng minh nó đúng đến \(n = k + 1\), tức là cần chứng minh
\({1^2} + {2^2} + ... + {\left( {k + 1} \right)^2}\)\( = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{6}\) .
Ta có:
\(\begin{array}{l}VT\\ = {1^2} + {2^2} + ... + {\left( {k + 1} \right)^2}\\ = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{6} + {\left( {k + 1} \right)^2}\\ = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + k + 6k + 6} \right)}}{6}\\ = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right)}}{6}\\ = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{6}\\ = VP\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Đẳng thức được chứng minh. Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}\lim \frac{{{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}}}{{{n^3} + 3n}}\\ = \lim \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{{6\left( {{n^3} + 3n} \right)}}\\ = \lim \frac{{1.\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)}}{{6\left( {1 + \frac{3}{{{n^2}}}} \right)}}\\ = \frac{{1.1.2}}{{6.1}} = \frac{1}{3}\end{array}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC,C'D'\) và \(D'A'\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(PQ\) bằng
.png)
-
Tìm số các số nguyên m thỏa mãn
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3\sqrt {m{x^2} + 2x + 1} - mx} \right)\)\( = + \infty .\)
-
Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = - \sin 2x + 1\) là hàm số nào sau đây?
-
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = a,\) \(EF = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), (\(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và\(AD\)). Số đo góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) là:
-
Cho cấp số cộng \(({u_n})\). Tìm \({u_1}\) và công sai \(d,\)biết tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là \({S_n} = 2{n^2} - 5n.\)
-
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AC = a,\) \(BD = 3a\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC.\) Biết \(AC\) vuông góc với\(BD\). Tính độ dài đoạn thẳng \(MN\) theo \(a.\)
-
Cho \(f(x) = 3{x^2}\); \(g(x) = 5(3x - {x^2})\). Bất phương trình \(f'\left( x \right) > g'\left( x \right)\) có tập nghiệm là
-
Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
-
Một chất điểm chuyển động có phương trình là \(s = {t^2} + 2t + 3\) (\(t\) tính bằng giây, \(s\) tính bằng mét). Khi đó vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t = 5\) giây là
-
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_n} = {n^2} + 2n\). Số hạng thứ tám của dãy số là:
-
Cho hàm số\(f(x) = {x^3} + 3{x^2} - 9x - 2019\). Tập hợp tất cả các số thực \(x\) sao cho \(f'(x) = 0\) là
-
Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) trên tập \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\) là
-
Biết giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x + 1} \right) = a\). Tính giá trị của \(2a + 1\).
-
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2}\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) có phương trình là
-
Cho tứ diện \(S.ABC\) có \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), điểm \(M\) nằm trên đoạn \(SA\) sao cho \(AM = 2MS\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + 1}}\). Tập nghiệm của bất phương trình \(f'\left( x \right) > 0\) là
-
Với \(a\) và \(b\) là hai đường thẳng chéo nhau tùy ý, mệnh đề nào sau đây sai?
-
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề không đúng ?
-
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {2{x^2} + x} - \sqrt {{x^2} + 1} }}{{2x + 1}}.\)
-
Cho hình chóp \(S.ABC,D\) là trung điểm của đoạn \(SA.\) Gọi \({h_1};{h_2}\) lần lượt là khoảng cách từ \(S\) và \(D\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right).\) Tỉ số \(\frac{{{h_1}}}{{{h_2}}}\) bằng
.png)
