Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: \({u_n} = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}\)

Với mọi số tự nhiên n, tổng \(S_n = n^3 + 3n^2 + 5n + 3 \) chia hết cho:

Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1 ; đồng thời các số x ; 2y ; 3z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0. Tìm giá trị của q.

Với mọi số tự nhiên \((n \ge 2 )\), bất đẳng thức nào sau đây đúng?

Trong phương pháp quy nạp toán học, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với (n = k ) thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng đến:

Có bao nhiêu số nguyên dương không lớn hơn 1000 chia hết cho 7 hoặc chia hết cho 11?

Với mỗi số nguyên dương n, đặt \(S = 1^2 + 2^2+ ... + n^2\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng

Ba số x, y, z lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21. Nếu lần lượt thêm các số 2 ; 3 ; 9 vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số nhân. Tính \(F = {x^2} + {y^2} + {z^2}.\)

Tìm hiểu tiền công khoan giếng ở hai cơ sở khoan giếng, người ta được biết:

- Ở cơ sở A: Giá của mét khoan đầu tiên là 50.000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 10000 đồng so với giá của mét khoan ngay trước.

- Ở cơ sở B: Giá của mét khoan đầu tiên là 50.000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 8% giá của mét khoan ngay trước.

Một người muốn chọn một trong hai cơ sở nói trên để thuê khoan một cái giếng sâu 20 mét, một cái giếng sâu 30 mét ở hai địa điểm khác nhau. Hỏi người ấy nên chọn cơ sở khoan giếng nào cho từng giếng để chi phí khoan hai giếng là ít nhất. Biết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau.

Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây,… Hỏi trồng được bao nhiêu hàng cây theo cách này?

Một người bắt đầu đi làm được nhận được số tiền lương là 7 000 000đ một tháng. Sau 36 tháng người đó được tăng lương 7%. Hằng tháng người đó tiết kiệm 20% lương để gửi vào ngân hàng với lãi suất 0,3%/tháng theo hình thức lãi kép (nghĩa là lãi của tháng này được nhập vào vốn của tháng kế tiếp). Biết rằng người đó nhận lương vào đầu tháng và số tiền tiết kiệm được chuyển ngay vào ngân hàng.

Hỏi sau 36 tháng tổng số tiền người đó tiết kiệm được (cả vốn lẫn lãi) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng nghìn)

Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q. Tìm q ?

Các số x + 6y ; 5x +2y ; 8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời, các số \(x + \,\frac{5}{3};\,\,\,\);   y -1; 2x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và y

Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến P( n ) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge p\) ( p ) là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề P( n ) đúng với n = k Khẳng định nào sau đây là đúng?

Với (n thuộc N*), hãy rút gọn biểu thức \(S = 1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + n(3n + 1).\)

Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12288 m²). Tính diện tích mặt trên cùng.

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un), biết: \({u_n} = \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}}\)

Với n thuộc N*, ta xét các mệnh đề: P:“ 7ⁿ + 5 chia hết cho 2”; Q: “ 7ⁿ + 5 chia hết cho 3” và R: “ 7ⁿ + 5 chia hết cho 6”. Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

Một học sinh chứng minh mệnh đề \(''8^n + 1 \)chia hết cho \( 7,\;\forall n \in {N^{*''}}(*)\)) như sau: Giả sử (* ) đúng với n = k, tức là 8^k + 1 chia hết cho 7.  Ta có: 8^{k + 1}+ 1 = 8(8^k + 1) - 7, kết hợp với giả thiết 8^k + 1 chia hết cho 7 nên suy ra được 8^{k + 1} + 1 chia hết cho 7. Vậy đẳng thức (*) đúng với mọi (n thuộc N*.  Khẳng định nào sau đây là đúng?

Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa). Tính (chính xác đến hàng phần trăm) khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày (khoảng 20 năm).

Cho tổng \( {S_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{n}{{n + 1}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)\). Mệnh đề nào đúng?