Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho \(2^{n + 1} > n^2 + 3n. \)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiKiểm tra tính đúng – sai của bất đẳng thức với các trường hợp n=1,2,3,4, ta dự đoán được 2n+1>n2+3n, với n≥4. Ta chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vây:
-Bước 1: Với n=4 thì vế trái bằng 24+1=25=32, còn vế phải bằng 42+3.4=28
Do 32>28 nên bất đẳng thức đúng với n=4
-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n=k≥4 nghĩa là 2k+1>k2+3k
Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh 2(k+1)+1>(k+1)2+3(k+1) hay 2k+2>k2+5k+4.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có 2k+1>k2+3k.
Suy ra 2.2k+1>2(k2+3k) hay 2k+2>2k2+6k
Mặt khác 2k2+6k−(k2+5k+4)=k2+k−4≥42+4−4=16 với mọi k≥4.
Do đó 2k+2>2(k2+3k)>k2+5k+4 hay bất đẳng thức đúng với n=k+1.
Suy ra bất đẳng thức được chứng minh.
Vậy phương án đúng là D.
