Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho $2^{n + 1} > n^2 + 3n.$

Với mọi số tự nhiên n, tổng $S_n = n^3 + 3n^2 + 5n + 3$ chia hết cho:

Giá trị của tổng $S = 1-2 + 3-4 + ... - 2n + ( 2n + 1)$ là:

Các số x + 6y ; 5x +2y ; 8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời, các số $x + \,\frac{5}{3};\,\,\,$;   y -1; 2x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và y

Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:

Trong phương pháp quy nạp toán học, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n = k + 1 thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:

Với (n thuộc N*), đặt $T_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + (2n)^2;M_n= 2^2 + 4^2 + 6^2 + ... + (2n)^2$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng

Với mỗi số nguyên dương n, đặt $S = 1^2 + 2^2+ ... + n^2$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng

Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q. Tìm q ?

Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến P( n ) đúng với mọi số tự nhiên $n \ge p$ ( p ) là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề P( n ) đúng với n = k Khẳng định nào sau đây là đúng?

Với mọi số tự nhiên $(n \ge 2 )$, bất đẳng thức nào sau đây đúng?

Tìm hiểu tiền công khoan giếng ở hai cơ sở khoan giếng, người ta được biết:

- Ở cơ sở A: Giá của mét khoan đầu tiên là 50.000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 10000 đồng so với giá của mét khoan ngay trước.

- Ở cơ sở B: Giá của mét khoan đầu tiên là 50.000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 8% giá của mét khoan ngay trước.

Một người muốn chọn một trong hai cơ sở nói trên để thuê khoan một cái giếng sâu 20 mét, một cái giếng sâu 30 mét ở hai địa điểm khác nhau. Hỏi người ấy nên chọn cơ sở khoan giếng nào cho từng giếng để chi phí khoan hai giếng là ít nhất. Biết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau.

Cho dãy số (u_n) với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} = 1}\\ {{u_{n + 1}} = {u_n} + {{\left( { - 1} \right)}^{2n + 1}}} \end{array}} \right.$. Số hạng tổng quát u_n của dãy số là số hạng nào dưới đây? 

Trong phương pháp quy nạp toán học, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với (n = k ) thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng đến:

Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 25^o. Tìm 2 góc còn lại?

Có hai cơ sở khoan giếng A và B. Cơ sở A giá mét khoan đầu tiên là (8000 ) (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm (500 ) (đồng) so với giá của mét khoan ngay trước đó. Cơ sở B: Giá của mét khoan đầu tiên là (6000 ) (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm (7% ) giá của mét khoan ngay trước đó. Một công ty giống cây trồng muốn thuê khoan hai giếng với độ sâu lần lượt là (20m) và (25 m ) để phục vụ sản xuất. Giả thiết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau. Công ty ấy nên chọn cơ sở nào để tiết kiệm chi phí nhất?

Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá từ mét khoan đầu tiên là 100000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 30000 đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó. Một người muốn kí hợp đồng với cơ sở khoan giếng này để khoan một giếng sâu 20 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi sau khi hoàn thành việc khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bằng bao nhiêu? 

Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: ${u_n} = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}$

Cho dãy số có các số hạng đầu là 5; 10; 15; 20; ...: Số hạng tổng quát của dãy số này là:

Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: ${u_n} = \frac{{3{n^2} - 2n + 1}}{{n + 1}}$

Tìm x để các số 2; 8; x; 128 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.