Với mọi số nguyên dương n, tổng \(S_n = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) \) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVới n=1 ta có: S1=1.2=2, do đó đáp án A, C sai.
Ta chứng minh \( {S_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)\) đúng với mọi số nguyên dương n.
Giả sử (∗) đúng đến n=k(k≥1), tức là
\( {S_k} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k\left( {k + 1} \right) = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{3},\) ta chứng minh (∗) đúng đến n=k+1, tức là cần chứng minh
\( {S_{k + 1}} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}{3},\)
Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{S_{k + 1}} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k\left( {k + 1} \right) + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{3} + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}\\ { = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 2k + 3k + 6} \right)}}{3} = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 5k + 6} \right)}}{3} = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}{3}.} \end{array}\)
Vậy (∗) đúng với mọi số nguyên dương n
