Cho dãy số (un) với \({u_n} = \frac{{a{n^2}}}{{n + 1}}\) (a: hằng số); u_n+1 là số hạng nào sau đây?

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: \({x^3} - 7{x^2} + 2\left( {{m^2} + 6m} \right)x - 8 = 0.\)

Mặt sàn tầng của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m . Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, một bậc cao 18cm . Kí hiệu h_n là độ cao của bậc thứ n so với mặt sân. Viết công thức để tìm độ cao h_n ?

Cho dãy số (u_n) với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 1}\\
{{u_{n + 1}} = {u_n} + {{\left( { - 1} \right)}^{2n + 1}}}
\end{array}} \right.\). Số hạng tổng quát u_n của dãy số là số hạng nào dưới đây? 

Biết rằng \(S = 1 + 2.3 + {3.3^2} + ... + {11.3^{10}} = a + \frac{{{{21.3}^b}}}{4}.\). Tính \(P = a + \frac{b}{4}.\)

Cho tứ giác ABCD biết 4 góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc A bằng \(30^0\). Tìm các góc còn lại? 

Đối với bài toán chứng minh P( n ) đúng với mọi \(n\ge p\) với p là số tự nhiên cho trước thì ở bước 1 ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:

Với n thuộc N*, ta xét các mệnh đề: P:“ 7ⁿ + 5 chia hết cho 2”; Q: “ 7ⁿ + 5 chia hết cho 3” và R: “ 7ⁿ + 5 chia hết cho 6”. Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12288m²). Tính diện tích mặt trên cùng.

Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: \({u_n} = n - \sqrt {{n^2} - 1} \)

Trong phương pháp quy nạp toán học, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n = k + 1 thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:

Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa). Tính (chính xác đến hàng phần trăm) khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày (khoảng 20 năm).

Cho dãy số (un) với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 5}\\
{{u_{n + 1}} = {u_n} + n}
\end{array}} \right.\). Số hạng tổng quát unun của dãy số là số hạng nào dưới đây? 

Cho dãy số có các số hạng đầu là 5; 10; 15; 20; ...: Số hạng tổng quát của dãy số này là:

Tìm hiểu tiền công khoan giếng ở hai cơ sở khoan giếng, người ta được biết:

- Ở cơ sở A: Giá của mét khoan đầu tiên là 50.000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 10000 đồng so với giá của mét khoan ngay trước.

- Ở cơ sở B: Giá của mét khoan đầu tiên là 50.000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 8% giá của mét khoan ngay trước.

Một người muốn chọn một trong hai cơ sở nói trên để thuê khoan một cái giếng sâu 20 mét, một cái giếng sâu 30 mét ở hai địa điểm khác nhau. Hỏi người ấy nên chọn cơ sở khoan giếng nào cho từng giếng để chi phí khoan hai giếng là ít nhất. Biết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau.

Một học sinh chứng minh mệnh đề \(''8^n + 1 \)chia hết cho \( 7,\;\forall n \in {N^{*''}}(*)\)) như sau: Giả sử (* ) đúng với n = k, tức là 8^k + 1 chia hết cho 7.  Ta có: 8^{k + 1}+ 1 = 8(8^k + 1) - 7, kết hợp với giả thiết 8^k + 1 chia hết cho 7 nên suy ra được 8^{k + 1} + 1 chia hết cho 7. Vậy đẳng thức (*) đúng với mọi (n thuộc N*.  Khẳng định nào sau đây là đúng?

Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến P( n ) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge p\) ( p ) là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề P( n ) đúng với n = k Khẳng định nào sau đây là đúng?

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho \(2^{n + 1} > n^2 + 3n. \)

Với mọi số nguyên dương n, tổng \(S_n = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) \) là:

Xác định x để 3 số 2x−1; x; 2x+1 lập thành một cấp số nhân:

Tìm x để các số 2; 8; x; 128 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.