Trong nửa khoảng \([0 ; 2 \pi)\), phương trình \(\sin 2 x+\sin x=0\) có số nghiệm là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
\(\sin 2 x+\sin x=0\Leftrightarrow \sin 2 x=\sin (-x) \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} 2 x=-x+k 2 \pi \\ 2 x=\pi+x+k 2 \pi \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=\frac{k 2 \pi}{3} \\ x=\pi+k 2 \pi \end{array}, k \in \mathbb{Z}\right.\right.\)
Với \(\left.x=\frac{k 2 \pi}{3} . \text { Vì } x \in[0 ; 2 \pi) \Rightarrow 0 \leq \frac{k 2 \pi}{3}<2 \pi \Leftrightarrow 0 \leq k<3 \Rightarrow k=0 ; 1 ; 2 \text { (vì } k \in \mathbb{Z}\right)\)
Với \(x=\pi+k 2 \pi . \text { Vì } x \in[0 ; 2 \pi) \Rightarrow 0 \leq \pi+k 2 \pi<2 \pi \Leftrightarrow-\frac{1}{2} \leq k<\frac{1}{2} \Rightarrow k=0 \text { (vì } k \in \mathbb{Z})\)
Vậy trong nửa khoảng \([0 ; 2 \pi)\) phương trình có 4 nghiệm \(x=0 ; x=\frac{2 \pi}{3} ; x=\frac{4 \pi}{3} ; x=\pi\)
