Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( { – 2;7;3} \right)$ và $B\left( {4;1;5} \right)$. Tính độ dài của đoạn AB.

 Mặt cầu$( S ) : ( x -1)^2 + ( y + 2)^2 + z^2 = 9$ có tâm  I ?

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC . Biết $M N=\frac{a \sqrt{6}}{2}$ , tính sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD). 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu (S )  tâm I (1; 2;- 3) và đi qua điểm A(1;0;4) có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng d đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với mặt phẳng $(P): 2 x+2 z+z+2017=0$ có phương trình là.

Tính tích có hướng của cặp vectơ sau: $\overrightarrow{a}=\left( 3;1;-1 \right);\overrightarrow{b}=\left( 2;1;-2 \right).$

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${d_1}, {d_2}$ và mặt phẳng ($\alpha$) có phương trình: ${d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 3t}\\{y = 2 + t}\\{z = – 1 + 2t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right), {d_2}:\frac{{x – 2}}{{ – 3}} = \frac{y}{2} = \frac{{z – 4}}{{ – 2}}, (\alpha ):x + y – z – 2 = 0$. Phương trình đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng ($\alpha$), cắt cả hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\vec u$ và mặt phẳng (P)
có vectơ pháp tuyến $\vec n$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}$ và mặt phẳng (P):2x + y + 2z – 1 = 0. Gọi d’ là hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng (P), một véctơ chỉ phương của đường thẳng d’ là

Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua hai điểm $A(2 ;-1 ; 3), B(4 ; 2 ;-2)$ có phương trình:
 

Trong không gian Oxyz, gọi d là đường thẳng qua $A\left( {1\,;\,0\,;\,2} \right)$, cắt và vuông góc với đường thẳng ${d_1}:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 5}}{{ – 2}}$. Điểm nào dưới đây thuộc d?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng $d: \frac{x}{3}=\frac{y-1}{4}=z+3$. Phương trình mặt phẳng chứa điểm A và đường thẳng d là
 

Trong không gian Oxyz, đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M\left( {1\,;2\,;2} \right)$, song song với mặt phẳng $\left( P \right):x – y + z + 3 = 0$ đồng thời cắt đường thẳng $d:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{1} = \frac{{z – 3}}{1}$ có phương trình là?

Trong hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD.MNPQ  tâm I , biết A(0;1;2) , B(1;0;1), C(2;0;1) , và Q( -1;0;1)  . Đường thẳng d qua I , song song với AC có phương trình là
 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (0;0; -2) và đường thẳng $\Delta: \frac{x+3}{4}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-2}{1}$ . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng $\Delta$ .
 

Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A(3;-2;4)và có véctơ chỉ phương $\vec u=(2;-1;6)$ có phương trình
 

Cho mặt (S) tâm I ở trên z’Oz tiếp xúc với hai mặt phẳng $\left( P \right):2x - 2y + z - 3 = 0$ và $\left( Q \right):\,\,x + 2y - 2z + 9 = 0$. Tính tọa độ tâm I và bán kính R:

Cho hai điểm $A(-2 ; 0 ;-3), B(2 ; 2 ;-1)$ Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu đường kính AB ?

Trong không gian Oxyz, lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(0;1;1), vuông góc với đường thẳng ${d_1}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{z}{1}$ và cắt đường thẳng d₂: x = -1, y = t, z = 1 + t

Cho hai điểm $A\left( {3;3;1} \right),{\rm{ }}B\left( {0;2;1} \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):x + y + z – 7 = 0$. Đường thẳng d nằm trên $\left( \alpha \right)$ sao cho mọi điểm của d cách đều 2 điểm $A,{\rm{ }}B$ có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( {3;{\rm{ }}2;{\rm{ }}2} \right), B\left( {4; – 1;0} \right)$. Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ qua hai điểm A và B.