Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}, {d_2}\) và mặt phẳng (\(\alpha\)) có phương trình: \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 3t}\\{y = 2 + t}\\{z = – 1 + 2t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right), {d_2}:\frac{{x – 2}}{{ – 3}} = \frac{y}{2} = \frac{{z – 4}}{{ – 2}}, (\alpha ):x + y – z – 2 = 0\). Phương trình đường thẳng \(\Delta \) nằm trong mặt phẳng (\(\alpha \)), cắt cả hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVì đường thẳng \(\Delta \) cắt cả hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) nên ta gọi M và N lần lượt là giao điểm của \(\Delta \) với \({d_1}\) và \({d_2}\). Hơn nữa, vì đường thẳng \(\Delta \) nằm trong mặt phẳng (\(\alpha \)) nên \(M,N \in \left( \alpha \right)\).
Tìm tọa độ điểm M.
Vì \(M \in {d_1}\) nên tọa độ điểm M có dạng \(M\left( {1 + 3t\,;\,2 + t\,;\, – 1 + 2t} \right)\) với \(t \in \mathbb{R}\).
Vì \(M\left( {1 + 3t\,;\,2 + t\,;\, – 1 + 2t} \right) \in \left( \alpha \right)\) nên \(\left( {1 + 3t} \right)\, + \left( {\,2 + t} \right)\, – \left( {\, – 1 + 2t} \right) – 2 = 0 \Leftrightarrow t = – 1\).
Do đó \(M\left( { – 2\,;\,1\,;\, – 3} \right)\).
Tìm tọa độ điểm N.
\({d_2}:\frac{{x – 2}}{{ – 3}} = \frac{y}{2} = \frac{{z – 4}}{{ – 2}} \Rightarrow {d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 – 3t’\\y = 0 + 2t’\\z = 4 – 2t’\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t’ \in \mathbb{R}} \right)\).
Vì \(N \in {d_2}\) nên tọa độ điểm N có dạng \(N(2 – 3t’;2t’;4 – 2t’)\) với \(t’ \in \mathbb{R}\)
Vì \(N(2 – 3t’;2t’;4 – 2t’) \in (\alpha )\) nên \(\left( {2 – 3t’} \right) + \left( {2t’} \right) – \left( {4 – 2t’} \right) – 2 = 0 \Leftrightarrow t’ = 4\).
Do đó \(N\left( { – 10\,;\,8\,;\, – 4} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {NM} = (8; – 7;1)\).
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\left( { – 2\,;\,1\,;\, – 3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {NM} = (8; – 7;1)\) làm vectơ chỉ phương nên \(\Delta \) có phương trình là \(\frac{{x + 2}}{8} = \frac{{y – 1}}{{ – 7}} = \frac{{z + 3}}{1}\)
