Trong không gian Oxyz, cho , có độ dài lần lượt là 1 và 2. Biết $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 3$ khi đó góc giữa 2 vectơ $\vec a, \vec b$ là
 

Trong không gian Oxyz , tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng d $\frac{{x - 4}}{7} = \frac{{y - 5}}{4} = \frac{{z + 7}}{{ - 5}}$

Trong không gian Oxyz , đường thẳng chứa trục Oy có phương trình tham số là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm $M(1 ; 2 ;-1)$ Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua gốc tọa độ O(0;0;0) và cách M một khoảng lớn nhất

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng $(P): 2 x+3 y+2 \mathrm{z}+2=0 \text { và }(O): x-3 y+2 \mathrm{z}+1=0 \text { . }$ Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với hai mặt phẳng (P), (Q) là 

Trong không gian Oxyz, một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u$ của đường thẳng $\Delta$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow a = 3\overrightarrow i – 5\overrightarrow j + 4\overrightarrow k$ có tọa độ là

Cho 4 điểm $A\,(1;1;0);\,\,B\,(0;2;1);\,\,C\,(1;0;2);\,\,D\,(1;1;1)$. Tính thể tích tứ diện ABCD.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm $M\left( {2;2;\, – 3} \right)$ và $N\left( { – 4;\,2;\,1} \right)$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua M, nhận vectơ $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$ làm vectơ chỉ phương và song song với mặt phẳng $\left( P \right):2x + y + z = 0$ sao cho khoảng cách từ N đến $\Delta$ đạt giá trị nhỏ nhất. Biết $\left| a \right|, \left| b \right|$ là hai số nguyên tố cùng nhau. Khi đó $\left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|$ bằng:

Trong không gian Oxyz , cho hai véc tơ $\overrightarrow u = \overrightarrow i \sqrt 3 + \overrightarrow k ,\overrightarrow v = \overrightarrow j \sqrt 3 + \overrightarrow k$. Khi đó tích vô hướng  $\vec u.\vec v$bằng
 

Trong không gian Oxyz , đường thẳng $\Delta\text{đi qua }A(1 ; 2 ;-1)$ và song song với đường thẳng $d: \frac{x-3}{1}=\frac{y-3}{3}=\frac{z}{2}$ có phương trình là:
 

Trong không gian Oxyz cho đường tròn: $\left( C \right):\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y + 6z + 17 = 0\\ x - 2y + 2z + 1 = 0 \end{array} \right.$

Tọa độ tâm H của (C) là:

Cho điểm M(3; 2; −1), điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (Oxy) là điểm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, $A(-3 ; 4 ; 2), B(-5 ; 6 ; 2), C(-10 ; 17 ;-7)$. Viết phương trình mặt cầu tâm C bán kính AB .

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;2;-3) và chứa đường thẳng $\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+4}{4}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trìnhx²+y²+z²+2x-4y+6z-2 = 0. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của (S).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $M\left( {1;\; – 2;\;1} \right), N\left( {0;\;1;\;3} \right)$. Phương trình đường thẳng qua hai điểm M, N là

Trong không gian Oxyz, cho vec tơ $\vec a = \overrightarrow {2i} – \vec j – 2\vec k$. Độ dài của vec tơ $\overrightarrow a$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz , cho điểm A(1;1;1) và đường thẳng d:$\left\{\begin{array}{l} x=6-4 t \\ y=-2-t \\ z=-1+2 t \end{array}\right.$

Hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d có tọa độ là:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${d_1}, {d_2}$ và mặt phẳng ($\alpha$) có phương trình: ${d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 3t}\\{y = 2 + t}\\{z = – 1 + 2t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right), {d_2}:\frac{{x – 2}}{{ – 3}} = \frac{y}{2} = \frac{{z – 4}}{{ – 2}}, (\alpha ):x + y – z – 2 = 0$. Phương trình đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng ($\alpha$), cắt cả hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ là

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left( {1;2;3} \right),\,\,B\left( {1;2;0} \right)$ và $M\left( { – 1;3;4} \right)$. Gọi d là đường thẳng qua B vuông góc với AB đồng thời cách M một khoảng nhỏ nhất. Một véc tơ chỉ phương của d có dạng $\overrightarrow u \left( {2;a;b} \right)$. Tính tổng a + b.

Cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4z - 4 = 0$ và ba điểm $A\left( {1,2, - 2} \right);B\left( { - 4,2,3} \right);C\left( {1, - 3,3} \right)$ nằm trên mặt cầu (S).

Bán kính r của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là :