Trong các số phức z thỏa mãn \(|z-2-4 i|=|z-2 i|\) . Số phức z có môđun nhỏ nhất là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(z=a+b i . \text { Khi dó }|z-2-4 i|=\mid z-2 i\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow|(a-2)+(b-4) i|=|a+(b-2) i| \\ \Leftrightarrow(a-2)^{2}+(b-4)^{2}=a^{2}+(b-2)^{2} \\ \Leftrightarrow a+b=4(1) \end{array}\)
\(|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) mà \(\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(1^{2}+1^{2}\right) \geq(a+b)^{2}\)(áp dụng BĐt Bunhiakopxki)
\(\begin{aligned} &\Leftrightarrow a^{2}+b^{2} \geq \frac{(a+b)^{2}}{2}=8 \text { (Theo (1)) }\\ &\Leftrightarrow \sqrt{a^{2}+b^{2}} \geq 2 \sqrt{2}\\ &\Leftrightarrow|z| \geq 2 \sqrt{2} \Rightarrow \min |z|=2 \sqrt{2} \end{aligned}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow \frac{a}{1}=\frac{b}{1}\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l} a=2 \\ b=2 \end{array} \Rightarrow z=2+2 i\right.\)
