Trong các số phức thỏa mãn điều kiện \(\left| {z + 3i} \right| = \left| {z + 2 – i} \right|.\) Tìm số phức có môđun nhỏ nhất?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGiả sử \(z = x + yi\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\)
\(\left| {z + 3i} \right| = \left| {z + 2 – i} \right| \Leftrightarrow \left| {x + \left( {y + 3} \right)i} \right| = \left| {\left( {x + 2} \right) + \left( {y – 1} \right)i} \right| \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 6y + 9 = 4x + 4 – 2y + 1 \Leftrightarrow 4x – 8y – 4 = 0 \Leftrightarrow x – 2y – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 2y + 1\)
\(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{{\left( {2y + 1} \right)}^2} + {y^2}} = \sqrt {5{y^2} + 4y + 1} = \sqrt {5{{\left( {y + \frac{2}{5}} \right)}^2} + \frac{1}{5}} \ge \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)
Suy ra \({\left| z \right|_{\min }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\) khi \(y = – \frac{2}{5} \Rightarrow x = \frac{1}{5}\)
Vậy \(z = \frac{1}{5} – \frac{2}{5}i.\)
