Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình \( {\log _2}\left( {\frac{{2{x^2} + 1}}{{2x}}} \right) + {2^{\left( {x + \frac{1}{{2x}}} \right)}} = 5{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: x>0
PT: \( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\frac{{2{x^2} + 1}}{{2x}}} \right) + {2^{\left( {\frac{{2{x^2} + 1}}{{2x}}} \right)}} = 5{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)\)
Đặt \( t = \frac{{2{x^2} + 1}}{{2x}} = x + \frac{1}{{2x}} \ge 2\sqrt {x.\frac{1}{{2x}}} = \sqrt 2 \)
PT trở thành \( {\log _2}t + {2^t} = 5(2)\)
Xét hàm \( f\left( t \right) = {\log _2}t + {2^t}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {t \ge \sqrt 2 } \right)\) là hàm đồng biến nên:
\( \left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( t \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow t = 2\) (tm)
Với \( t = 2 \to \frac{{2{x^2} + 1}}{{2x}} = 2 \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 1 = 0\)
Vậy \( {x_1}{x_2} = \frac{1}{2}\) (theo Viet ).