Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục \(\displaystyle  Ox\) hình phẳng giới hạn bởi các đường \(\displaystyle  y = \frac{1}{x}\), \(\displaystyle  y = 0,x = 1\) và \(\displaystyle  x = a\left( {a > 1} \right)\). 

Quay hình phẳng \(\displaystyle  G\) giới hạn bởi các đường \(\displaystyle  y = {x^3},y = 1,x = 0\) xung quanh trục \(\displaystyle  Oy\). Khi đó thể tích của khối tròn xoay này bằng:

Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng \(x = -1\) và \(x = 1\), biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x( - 1 \le x \le 1)\) là một hình vuông cạnh là \(2\sqrt {1 - {x^2}} \).

Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn \(x^2+y^2=16\) (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là hình vuông. Thể tích của vật thể là

Cho hình phẳng H giới hạn bởi \(y= {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2}}\) và Ox.  Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay H  quanh Ox bằng :

Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc \(v(t)=t^{2}+10 t(m / s),\) với t là thời gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc 200 (m/s) thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là: 

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=1-\frac{1}{x^{2}}\), trục Ox và hai đường thẳng \(x=\frac{1}{2}, x=2\) có diện tích là

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f( x)\), đường thẳng (y = 0 ) và hai đường thẳng \(x = a,x = b(a < b)\) là:

Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển đến thượng nguồn con sông để đẻ trứng trên sỏi đá rồi chết. Khi nghiên cứu một con cá hồi sinh sản người ta phát hiện ra một quy luật nó chuyển động trong nước yên lặng là \(s(t)=-\frac{t^{2}}{10}+4 t\) với t (giờ) là khoảng thời gian từ lúc con cá bắt đầu chuyển động và s(t) ( km ) là quãng đường con cá bơi trong khoảng thời gian đó. Nếu thả con cá hồi vào dòng sông có vận tốc dòng nước chảy là 2 km/h. Tính khoảng cách xa nhất mà con cá hồi đó có thể bơi ngược dòng nước đến nơi để trứng 

Sau chiến tranh thế giới thứ hai, tốc độ sinh ở cả nước phương Tây tăng rất nhanh. Giả sử rằng tốc độ sinh được cho bởi: b(t) = 5 + 2t, 0 ≤ t ≤ 10, (ở đó t số năm tính từ khi chiến tranh kết thúc, b(t) tính theo đơn vị triệu người). Có bao nhiêu trẻ được sinh trong khoảng thời gian này (tức là trong 10 năm đầu tiên sau chiến tranh)?

Con cá bơi có phương trình quãng đường \(s(t)=-\frac{1}{10} t^{2}+4 t(\mathrm{~km})\), t tính bằng giờ. Biết con cá bơi xuôi dòng nước với tốc độ dòng chảy là 2 / km h . Tính khoảng cách xa nhất con cá bơi được? 

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = - {x^2}\), trục hoành, và hai đường thẳng \(x = - 1;x = 2\).

Một vật chuyển động với vận tốc đấu là v( ) 0 ( ) m s / và có gia tốc được cho bởi công thức \(a(t)=v^{\prime}(t)=\frac{2}{t+1}\left(m / s^{2}\right)\). Vận tốc của vật sau 15 giây là \(v(15)=8 \ln 2-\log 100(m / s)\) . Tính vận tốc ban đầu của vật. 

Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v(km/h)  phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị của vận tốc là một phần của đường parabol có đỉnh I (2;9) và trục đối xứng song song với trục tung như hình vẽ. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó

Một vật chuyển động với vận tốc \(v(t)=1-2 \sin 2 t(m / s) . \text { Gọi } S=a+\frac{b \pi}{c}(a, b, c \in \mathbb{Z}, \frac{b}{c}\) tối giản) là quảng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t=0(s) đến thời điểm \(t=\frac{3 \pi}{4} . \text { Tính } P=2 a-3 b+2 c .\)

Một ô tô đang chạy với vận tốc 18 (m/s) thì người lái hãm phang. Sau khi hãm phanh ô tô chuyển động chậm dẫn đều với vận tốc \(v(t)=18-36 t(\mathrm{~m} / \mathrm{s})\) , trong đó t là khoảng thời gian được tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu hãm phanh. Tính quãng đường ô tô đi được kể từ lúc hãm phang cho đến khi dừng hẳn. 

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi \(\displaystyle  y = {x^{\frac{2}{3}}},x = 0\) và tiếp tuyến với đường \(\displaystyle  y = {x^{\frac{2}{3}}}\) tại điểm có hoành độ \(\displaystyle  x = 1\), quanh trục \(\displaystyle  Oy\)

Cho hai hàm số f( x ) =  - x  và g( x ) = e^x. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f( x ),y = g( x ) và hai đường thẳng x = 0,x = e là:

Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường \(y = \cos x, y = 0, x = 0\) và \(x = {\pi  \over 4}.\)
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.

Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng ( ) H giới hạn bởi các đường \(\begin{aligned} &(P): y=x^{2},\left(P^{\prime}\right): y=4 x^{2} \text { và } \text { (d): } y=4 \end{aligned}\) . Thể tích của khối tròn xoay khi quay (H ) quanh trục
Ox bằng

Tại một noiw không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật \(v(t)=10 t-t^{2}\), trong đó t ( phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v(t) được  tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là?