Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = {x^2},y = 4x - 4$ và $y = -4x – 4$.

Hình phẳng giới hạn bởi đường elip $(E): x^{2}+16 y^{2}=16$ có diện tích bằng

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi $\displaystyle  y = \frac{1}{x} - 1,y = 0,y = 2x$, quanh trục $\displaystyle  Ox$

Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=1-x^{2}, y=0$ quanh trục Ox có kết quả dạng $\frac{a \pi}{b} ;(a ; b \in \mathbb{Z}) ; \frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khi đó a + b có kết quả là:

Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x}$ và y=x quanh trục Ox bằng

Vận tốc của một vật chuyển động là $v\left( t \right)\; = \;\frac{1}{{2{\rm{\pi }}}}\; + \;\frac{{\sin \left( {{\rm{\pi }}t} \right)\;}}{{\rm{\pi }}}$ (m/s). Quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian 1,5 giây xấp xỉ bằng:

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y= e^x, trục hoành và các đường thẳng (x=0,x=1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển đến thượng nguồn con sông để đẻ trứng trên sỏi đá rồi chết. Khi nghiên cứu một con cá hồi sinh sản người ta phát hiện ra một quy luật nó chuyển động trong nước yên lặng là $s(t)=-\frac{t^{2}}{10}+4 t$ với t (giờ) là khoảng thời gian từ lúc con cá bắt đầu chuyển động và s(t) ( km ) là quãng đường con cá bơi trong khoảng thời gian đó. Nếu thả con cá hồi vào dòng sông có vận tốc dòng nước chảy là 2 km/h. Tính khoảng cách xa nhất mà con cá hồi đó có thể bơi ngược dòng nước đến nơi để trứng 

Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi: $\displaystyle  y = {(2x + 1)^{\frac{1}{3}}},x = 0,y = 3$, quanh trục $\displaystyle  Oy$.

Tính thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: $y = {x^2} - 4;y = 2x - 4;x = 0;x = 2$ và quay quanh trục Ox.

Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $x=f(y), x=g(y)$ và hai đường thẳng $y=a, y=b$, như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?

Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: $y = \cos x{\rm{ }};x = 0;x = \pi$ và quay quanh trục Ox.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2 , y = 0 , x = 1 , x = 2$ bằng:

Quay hình phẳng G giới hạn bởi các đường y=x3,y=1,x=0 xung quanh trục Oy. Khi đó thể tích của khối tròn xoay này bằng:

Sau chiến tranh thế giới thứ hai, tốc độ sinh ở cả nước phương Tây tăng rất nhanh. Giả sử rằng tốc độ sinh được cho bởi: b(t) = 5 + 2t, 0 ≤ t ≤ 10 , ( ở đó t số năm tính từ khi chiến tranh kết thúc, b(t) tính theo đơn vị triệu người). Tìm khoảng thời gian T sao cho số lượng trẻ được sinh ra là 14 triệu kể từ khi kết thức chiến tranh.

Một vật đang chuyển động đều với vận tốc $v_{0}(m / s)$ thì bắt đầu tăng tốc với gia tốc $a(t)=v_{0} t+t^{2}\left(m / s^{2}\right)$ trong đó t là khoảng thời gian được tính bằng giây kể từ thời điểm vật bắt đầu tăng tốc. Biết quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là 100m. Tính vận tốc ban đầu v₀ của vật.

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f( x )$ liên tục trên đoạn [ 1; 3 ], trục Ox và hai đường thẳng (x=1, x=3 ) có diện tích là:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = x^3 - x;y = 2x$ và các đường thẳng x =  - 1; x = 1 được xác định bởi công thức:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: $\displaystyle  y = x - 1 + \frac{{\ln x}}{x},y = x - 1$ và $\displaystyle  x = e$

Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao 18m, chiều rộng chân đế 12m. Người ta căng sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số $\frac{{AB}}{{CD}}$

Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = (x - 1)e^x$, trục hoành, đường thẳng x = 0 và x = 1