Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = {x^2},y = 4x - 4$ và $y = -4x – 4$.

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi $\displaystyle  y = \frac{1}{x} - 1,y = 0,y = 2x$, quanh trục $\displaystyle  Ox$

Cho hình phẳng $A$ giới hạn bởi các đường $y = 0, x = 4$, và $y = \sqrt x  - 1$. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $A$ quanh trục hoành.

Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $x=f(y), x=g(y)$ và hai đường thẳng $y=a, y=b$, như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?

Hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị $y=\sqrt{4-\frac{x^{2}}{4}}, y=\frac{x^{2}}{4 \sqrt{2}}$ (hình vẽ bên dưới). Khẳng định nào sau đây đúng?

Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn $x^2+y^2=16$ (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là hình vuông. Thể tích của vật thể là

Sau chiến tranh thế giới thứ hai, tốc độ sinh ở cả nước phương Tây tăng rất nhanh. Giả sử rằng tốc độ sinh được cho bởi: b(t) = 5 + 2t, 0 ≤ t ≤ 10 , ( ở đó t số năm tính từ khi chiến tranh kết thúc, b(t) tính theo đơn vị triệu người). Tìm khoảng thời gian T sao cho số lượng trẻ được sinh ra là 14 triệu kể từ khi kết thức chiến tranh.

Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường $\displaystyle  y = \tan x,y = 0,x =  - \frac{\pi }{4}$ và $\displaystyle  x = \frac{\pi }{4}$ bằng

Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a, x=b$ , như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^3} - 4x$, trục hoành, đường thẳng x=-2 và đường thẳng x=4

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^{3}-2 x$ và đường thẳng $2 x-y=0$ có diện tích là

Cho hai hàm số f( x ) =  - x  và g( x ) = e^x. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f( x ),y = g( x ) và hai đường thẳng x = 0,x = e là:

Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục $\displaystyle  Ox$ hình phẳng giới hạn bởi các đường $\displaystyle  y = \frac{1}{x}$, $\displaystyle  y = 0,x = 1$ và $\displaystyle  x = a\left( {a > 1} \right)$. 

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 1$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$ và $x = {{7\pi } \over 6}$

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f( x ),y = g( x )$ và hai đường thẳng x = a,x = b (a < b) là:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = \sqrt x$ và $y = \root 3 \of x$

Một vật bắt đầu chuyển động với phương trình vận tốc là $v(t)=\frac{2 t}{t^{2}+1}$.Hỏi từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vật có tốc độ lớn nhất đã đi được quãng đường dài bao nhiêu? 

Quay hình phẳng $\displaystyle  Q$ giới hạn bởi các đường $\displaystyle  {y_1} = \sin x$ và $\displaystyle  {y_2} = \frac{{2x}}{\pi }$ quanh trục $\displaystyle  Ox$, ta được một khối tròn xoay. Khi đó thể tích của khối tròn xoay này bằng

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^{3}$ , trục Ox và đường thẳng x =-2 có diện tích là

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2^x, y = 0, x = 0 và x = 2.Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox )được xác định bởi công thức:

Quay hình phẳng Q giới hạn bởi các đường y₁=sinx và ${y_2} = \frac{{2x}}{\pi }$ quanh trục Ox, ta được một khối tròn xoay. Khi đó thể tích của khối tròn xoay này bằng