Quay hình phẳng \(\displaystyle Q\) giới hạn bởi các đường \(\displaystyle {y_1} = \sin x\) và \(\displaystyle {y_2} = \frac{{2x}}{\pi }\) quanh trục \(\displaystyle Ox\), ta được một khối tròn xoay. Khi đó thể tích của khối tròn xoay này bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(\displaystyle \sin x = \frac{{2x}}{\pi } \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{\pi }{2}\\x = - \frac{\pi }{2}\end{array} \right.\)
Khi đó \(\displaystyle V = \pi \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left| {{{\sin }^2}x - {{\left( {\frac{{2x}}{\pi }} \right)}^2}} \right|dx} \)
Dễ thấy \(\displaystyle f\left( x \right) = \left| {{{\sin }^2}x - {{\left( {\frac{{2x}}{\pi }} \right)}^2}} \right|\) là hàm số chẵn nên:
\(\displaystyle V = 2\pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left| {{{\sin }^2}x - {{\left( {\frac{{2x}}{\pi }} \right)}^2}} \right|dx} \)\(\displaystyle = 2\pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{{\sin }^2}x - {{\left( {\frac{{2x}}{\pi }} \right)}^2}} \right)dx} \) \(\displaystyle = 2\pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}xdx} - \frac{8}{\pi }\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{x^2}dx} \)
\(\displaystyle = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - \cos 2x} \right)dx} - \frac{8}{\pi }\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{x^2}dx} \) \(\displaystyle = \pi \left. {\left( {x - \frac{{\sin 2x}}{2}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \frac{8}{\pi }.\left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\) \(\displaystyle = \pi \left( {\frac{\pi }{2} - 0} \right) - \frac{8}{\pi }.\frac{1}{3}.{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^3}\)
\(\displaystyle = \frac{{{\pi ^2}}}{2} - \frac{{{\pi ^2}}}{3} = \frac{{{\pi ^2}}}{6}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{x}\), trục Ox và hai đường thẳng \(x=1, x=2\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là
-
Một Bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{x+1}\) và trục Ox quay quanh trục Ox biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính lần lượt là 2dm và 4dm, khi đó thể tích của lọ là:
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: \(\displaystyle x + y = 1;x + y = - 1;\) \(\displaystyle x - y = 1;x - y = - 1\)
-
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=x^{3}-2 x\) và đường thẳng \(2 x-y=0\) có diện tích là
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = \sqrt x \) và \(y = \root 3 \of x \)
-
Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y=f(x)=x^{4}-2 x^{2}\)2 và
trục hoành như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây sai?
-
Cho hình phẳng giới hạn (H) như hình vẽ bên. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox là
-
Cho đồ thị biểu thị vận tốc của hai xe A và B khởi hành cùng một lúc, bên cạnh nhau và trên cùng một con đường. Biết đồ thị biểu diễn vận tốc của xe A là một đường Parabol, đồ thị biểu diễn vận tốc của xe B là một đường thẳng ở hình bên. Hỏi sau khi đi được 3 giây, khoảng cách giữa hai xe là bao nhiêu mét?
.PNG)
-
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2\) (C). Gọi d là phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 2\). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), tiếp tuyến d và đường thẳng x = 1.
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 4,y = {x^2}\), trục tung và đường thẳng \(x = 1\)
-
Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc \(v(t)=t^{2}+10 t(m / s),\) với t là thời gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc 200 (m/s) thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là:
-
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(\displaystyle {y_1} = {x^3};{y_2} = 4x\) bằng
-
Vận tốc của một vật chuyển động là \(v\left( t \right)\; = \;\frac{1}{{2{\rm{\pi }}}}\; + \;\frac{{\sin \left( {{\rm{\pi }}t} \right)\;}}{{\rm{\pi }}}\) (m/s). Quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian 1,5 giây xấp xỉ bằng:
-
Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường \(x = \sqrt {2\sin 2y} ,x = 0,y = 0\) và \(y = {\pi \over 2}.\)
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung. -
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = x^3 - x;y = 2x \) và các đường thẳng x = - 1; x = 1 được xác định bởi công thức:
-
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) hàm số \(y = - {x^4} + 5{x^2} - 4\) với trục hoành.
-
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f( x)\), đường thẳng (y = 0 ) và hai đường thẳng \(x = a,x = b(a < b)\) là:
-
Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục \(\displaystyle Ox\) hình phẳng giới hạn bởi các đường \(\displaystyle y = \frac{1}{x}\), \(\displaystyle y = 0,x = 1\) và \(\displaystyle x = a\left( {a > 1} \right)\).
-
Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ t=0(s) chuyển động thẳng với vận tốc \(v_{t}=t(5-t)(\mathrm{m} / \mathrm{s})\) . Tính quãng đường vật đi được cho tới khi nó dừng lại.
-
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y= ex, trục hoành và các đường thẳng (x=0,x=1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
