Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: \(\displaystyle y = \frac{1}{{1 + {x^2}}},y = \frac{1}{2}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(\displaystyle \frac{1}{{1 + {x^2}}} = \frac{1}{2}\)\(\displaystyle \Leftrightarrow 1 + {x^2} = 2\) \(\displaystyle \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\).
Diện tích: \(\displaystyle S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right|dx} \)\(\displaystyle = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right)dx} \)
Dễ thấy hàm số \(\displaystyle y = \frac{1}{{{x^2} + 1}} - \frac{1}{2}\) là hàm số chẵn nên \(\displaystyle S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right)dx} \) \(\displaystyle = 2\int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right)dx} \)
Xét \(\displaystyle I = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right)dx} \)\(\displaystyle = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {dx} \) \(\displaystyle = J - \frac{1}{2}\) với \(\displaystyle J = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{1 + {x^2}}}dx} \)
Đặt \(\displaystyle x = \tan t \Rightarrow dx = \left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt\) \(\displaystyle \Rightarrow J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{1 + {{\tan }^2}t}}{{1 + {{\tan }^2}t}}dt} = \frac{\pi }{4}\)\(\displaystyle \Rightarrow I = \frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}\)
Vậy \(\displaystyle S = 2I = 2.\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right) = \frac{\pi }{2} - 1\).
Câu hỏi liên quan
-
Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y=f(x), y=g(x)\) và hai đường thẳng \(x=a, x=b\), như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
.PNG)
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = {x^2}\) và \(y = - {x^2} - 2x\)
-
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f( x ) \) liên tục trên đoạn [ 1; 3 ], trục Ox và hai đường thẳng (x=1, x=3 ) có diện tích là:
-
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi \(\displaystyle y = \frac{1}{x} - 1,y = 0,y = 2x\), quanh trục \(\displaystyle Ox\)
-
Quay hình phẳng G giới hạn bởi các đường y=x3,y=1,x=0 xung quanh trục Oy. Khi đó thể tích của khối tròn xoay này bằng:
-
Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t(h ) có đồ thị của vận tốc như hình vẽ bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I ( 2;9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó.
-
Quay hình phẳng GG giới hạn bởi các đường y=x3,y=1,x=0 xung quanh trục Oy. Khi đó thể tích của khối tròn xoay này bằng
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bới các đường \(y=\frac{-3 x-1}{x-1}, O x, O y\) là
-
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( {y_1} = {x^3};{y_2} = 4x\) bằng
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: \(y = {x^2} - 3x + 2\) và \(y=x-1\).
-
Tính thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: \(y = \ln x;x = 0;y = 0;y = 1\) và quay quanh trục Oy.
-
Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển đến thượng nguồn con sông để đẻ trứng trên sỏi đá rồi chết. Khi nghiên cứu một con cá hồi sinh sản người ta phát hiện ra một quy luật nó chuyển động trong nước yên lặng là \(s(t)=-\frac{t^{2}}{10}+4 t\) với t (giờ) là khoảng thời gian từ lúc con cá bắt đầu chuyển động và s(t) ( km ) là quãng đường con cá bơi trong khoảng thời gian đó. Nếu thả con cá hồi vào dòng sông có vận tốc dòng nước chảy là 2 km/h. Tính khoảng cách xa nhất mà con cá hồi đó có thể bơi ngược dòng nước đến nơi để trứng
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2x\), trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 3.
-
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi \(\displaystyle y = \left| {2x - {x^2}} \right|,y = 0\) và \(\displaystyle x = 3\), quanh trục Ox.
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = 2 - x,y = {x^2}\) và trục hoành trong miền \(x \ge 0\)
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = x^2 , y = 0 , x = 1 , x = 2 \) bằng:
-
Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn \(x^2+y^2=16\) (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là hình vuông. Thể tích của vật thể là
.PNG)
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: \(\displaystyle y = {x^3} - 12x,y = {x^2}\)
-
Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng ( H) giới hạn bởi các đường \(y=3 x-x^{2}\) và trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay khi quay (H ) quanh trục Ox bằng
-
Một vật bắt đầu chuyển động với phương trình vận tốc là \(v(t)=\frac{2 t}{t^{2}+1}\).Hỏi từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vật có tốc độ lớn nhất đã đi được quãng đường dài bao nhiêu?
