Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao 18m, chiều rộng chân đế 12m. Người ta căng sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số \( \frac{{AB}}{{CD}}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGắn hệ trục tọa độ như hình vẽ :
Ta dễ dàng tìm được phương trình parabol là \( y = - \frac{1}{2}{x^2} + 18\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành là \( S = \int\limits_{ - 6}^6 {\left( { - \frac{1}{2}{x^2} + 18} \right)dx = } \left( { - \frac{{{x^3}}}{2} + 18x} \right)_{ - 6}^6 = 144\)
Gọi \( {x_A} = a \Rightarrow {y_A} = - \frac{1}{2}{a^2} + 18\)
⇒ Phương trình đường thẳng AB : \( y = - \frac{1}{2}{a^2} + 18\)
và \( {x_C} = c \Rightarrow {y_c} = - \frac{1}{2}{c^2} + 18\)
⇒ Phương trình đường thẳng CD : \( y = - \frac{1}{2}{c^2} + 18\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng AB là:
\(\begin{array}{l} {S_1} = \int\limits_{ - a}^a {\left( { - \frac{1}{2}{x^2} + 18 + \frac{1}{2}{a^2} - 18} \right)dx = } \int\limits_{ - a}^a {\left( { - \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{2}{a^2}} \right)dx = } \left( { - \frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{{a^2}}}{2}} \right)_{ - a}^a = \frac{{2{a^3}}}{3}\\ {S_1} = \frac{1}{3}S \to \frac{2}{3}{a^3} = \frac{1}{3}.144 = 48 \to a = 2\sqrt[3]{9}\\ \to AB = 2a = 4\sqrt[3]{9} \end{array}\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng CD là:
\(\begin{array}{l} {S_2} = \int\limits_{ - c}^c {\left( { - \frac{1}{2}{x^2} + 18 + \frac{1}{2}{c^2} - 18} \right)dx = } \left( { - \frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{{c^2}}}{2}} \right)_{ - c}^c = \frac{{2{c^3}}}{3}\\ {S_1} = \frac{2}{3}S \to \frac{2}{3}{c^3} = \frac{2}{3}.144 = 96 \to c = 2\sqrt[3]{{18}}\\ \to CD = 2c = 4\sqrt[3]{{18}}\\ \to \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}} \end{array}\)
Câu hỏi liên quan
-
Một vật từ trạng thái nghỉ t=0(s) chuyển động thẳng với vân tốc \(v(t)=t(6-t)(m / s)\) . Tính quãng đường vật đi được cho đến khi nó dừng lại.
-
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f( x ),y = g( x ) \) và hai đường thẳng x = a,x = b (a < b) là:
-
Một vật bắt đầu chuyển động với phương trình vận tốc là \(v(t)=\frac{2 t}{t^{2}+1}\) Hỏi từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vật có gia tốc nhỏ nhất đã đi được quãng đường dài bao nhiêu?
-
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f( x ) \) liên tục trên đoạn [ 1; 3 ], trục Ox và hai đường thẳng (x=1, x=3 ) có diện tích là:
-
Một ô tô đang chạy với vận tốc 18 (m/s) thì người lái hãm phang. Sau khi hãm phanh ô tô chuyển động chậm dẫn đều với vận tốc \(v(t)=18-36 t(\mathrm{~m} / \mathrm{s})\) , trong đó t là khoảng thời gian được tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu hãm phanh. Tính quãng đường ô tô đi được kể từ lúc hãm phang cho đến khi dừng hẳn.
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: \(y = {x^2} - 3x + 2\) và \(y=x-1\).
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^{2}-2 x+1, y=-x+1, x=0, x=m,(m<0)\) bằng \(\frac{5}{6}\). Khi đó giá trị m bằng:
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 4,y = {x^2}\), trục tung và đường thẳng \(x = 1\)
-
Cho hai hàm số y=f( x) và y=g(x) liên tục trên đoạn [ a;b ]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đó và các đường thẳng x=a, x=b, ( a < b ). Diện tích S của hình phẳng D được tính bởi công thức:
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 4x\), trục hoành, đường thẳng x=-2 và đường thẳng x=4
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 - x và đồ thị hàm số y = x - x2.
-
Tại một noiw không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật \(v(t)=10 t-t^{2}\), trong đó t ( phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v(t) được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là?
-
Cho nửa đường tròn đường kính (\(AB=4\sqrt5\) ). Trên đó người ta vẽ một parabol có đỉnh trùng với tâm của nửa hình tròn, trục đối xứng là đường kính vuông góc với AB. Parabol cắt nửa đường tròn tại hai điểm cách nhau 4cm và khoảng cách từ hai điểm đó đến AB bằng nhau và bằng 4cm. Sau đó người ta cắt bỏ phần hình phẳng giới hạn bởi đường tròn và parabol (phần gạch chéo trong hình vẽ). Đem phần còn lại quay xung quanh trục AB. Thể tích của khối tròn xoay thu được bằng:
-
Cho hàm số y=f( x ) liên tục trên đoạn [ a;b ]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f( x ), trục hoành và hai đường thẳng x=a,x=b ( a<b ). Thể tích của khối của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức:
-
Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quanh trục Ox.
-
Sau chiến tranh thế giới thứ hai, tốc độ sinh ở cả nước phương Tây tăng rất nhanh. Giả sử rằng tốc độ sinh được cho bởi: b(t) = 5 + 2t, 0 ≤ t ≤ 10 , ( ở đó t số năm tính từ khi chiến tranh kết thúc, b(t) tính theo đơn vị triệu người). Tìm khoảng thời gian T sao cho số lượng trẻ được sinh ra là 14 triệu kể từ khi kết thức chiến tranh.
-
Cho hai hàm số f( x ) = - x và g( x ) = ex. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f( x ),y = g( x ) và hai đường thẳng x = 0,x = e là:
-
Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi: \(\displaystyle y = {(2x + 1)^{\frac{1}{3}}},x = 0,y = 3\), quanh trục \(\displaystyle Oy\).
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: \(\displaystyle y = \frac{1}{{1 + {x^2}}},y = \frac{1}{2}\)
-
Một vật chuyển động với vận tốc \(v\left( t \right) = 1,2 + \frac{{{t^2} + 4}}{{t + 3}}\left( {m/s} \right).\) Quãng đường vật đi được sau 4s xấp xỉ bằng:
