Một vật bắt đầu chuyển động với phương trình vận tốc là $v(t)=\frac{2 t}{t^{2}+1}$ Hỏi từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vật có gia tốc nhỏ nhất đã đi được quãng đường dài bao nhiêu? 

Thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục $\displaystyle  Ox$ của hình phẳng giới hạn bởi các đường $\displaystyle  y = {\sin ^{\frac{3}{2}}}x,y = 0,x = 0$ và $\displaystyle  x = \frac{\pi }{2}$ bằng

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f( x ) = x^2 - 1$, trục hoành và hai đường thẳng x =  - 1; x =  - 3 là:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = x, y = 1$ và $y = {{{x^2}} \over 4}$ trong miền $x \ge 0,y \le 1.$

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = 2 - x,y = {x^2}$ và trục hoành trong miền $x \ge 0$

Sân trường THPT Chuyên Hà Giang có một bồn hoa hình tròn có tâm O. Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường Parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O. Hai đường Parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4m (như hình vẽ). Phần diện tích (S₁,S₃ ) dùng để trồng hoa, phần diện tích  (S₂,S₄ ) dùng để trồng cỏ (Diện tích được làm tròn đến hàng phần trăm). Biết kinh phí trồng hoa là (150.000 ) đồng/ (m² ), kinh phí trồng cỏ là (100.000 ) đồng/ (m² ). Hỏi cả trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn).

Cho hình phẳng $A$ giới hạn bởi các đường $y = 0, x = 4$, và $y = \sqrt x  - 1$. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $A$ quanh trục hoành.

Một ô tô đang chạy với vận tốc $\displaystyle  10m/s$ thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $\displaystyle  v\left( t \right) =  - 5t + 10\left( {m/s} \right)$, trong đó $\displaystyle  t$ là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển bao nhiêu mét?

Cho hình phẳng giới hạn (H) như hình vẽ bên. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox là

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2x + 4$ , trục hoành ,  các đường thẳng x =  - 2;x = 0

Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường $y = x{e^{{x \over 2}}},y = 0,x = 0$ và $x = 1$.
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.

Hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị $y=\sqrt{4-\frac{x^{2}}{4}}, y=\frac{x^{2}}{4 \sqrt{2}}$ (hình vẽ bên dưới). Khẳng định nào sau đây đúng?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng $x=0 , x=\pi$ đồ thị hàm số y=cos x và trục Ox là

Cho hình phẳng H giới hạn bởi $y= {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2}}$ và Ox.  Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay H  quanh Ox bằng :

Cho hình (H) giới hạn bởi đường cong $x = \sqrt y$, trục tung và hai đường thẳng y = 1,y = 4  Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Oy được tính theo công thức

Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi: $\displaystyle  y = 2x - {x^2},y = x$, quanh trục $\displaystyle  Ox$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\left|x^{2}-4 x+3\right|, y=x+3 \text { là } S=\frac{a}{b}, (a ; b \in \mathbb{Z} ; a \neq 0) ; \frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là đúng?

 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x³ - x và đồ thị hàm số y = x - x².

Cho nửa đường tròn đường kính ($AB=4\sqrt5$ ). Trên đó người ta vẽ một parabol có đỉnh trùng với tâm của nửa hình tròn, trục đối xứng là đường kính vuông góc với AB. Parabol cắt nửa đường tròn tại hai điểm cách nhau 4cm và khoảng cách từ hai điểm đó đến AB bằng nhau và bằng 4cm. Sau đó người ta cắt bỏ phần hình phẳng giới hạn bởi đường tròn và parabol (phần gạch chéo trong hình vẽ). Đem phần còn lại quay xung quanh trục AB. Thể tích của khối tròn xoay thu được bằng:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [ a;b ]. Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng (x=a; x=b) được tính theo công thức

Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $x=f(y), x=g(y)$ và hai đường thẳng $y=a, y=b$, như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?