Tính giới hạn của dãy số \(D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + n + 1} - 2\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + n} \right)\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l}
D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + n + 1} - 2\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + n} \right)\\
= \lim \left( {\sqrt {{n^2} + n + 1} - n} \right) - 2\lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right)\\
= \lim \frac{{n + 1}}{{\sqrt {{n^2} + n + 1} + n}} - 2\lim \frac{{{n^2} - 1}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + {n^2} - 1} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + {n^2}}}\\
= \lim \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 1}} - 2\lim \frac{{1 - \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + \frac{1}{{{n^4}}} - \frac{1}{{{n^6}}}} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{{{n^3}}} + 1}}}}\\
= \frac{1}{2} - 2.\frac{1}{3} = - \frac{1}{6}
\end{array}\)
