Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\sqrt{x} \ln x\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(I=\int f(x) \mathrm{d} x=\int \sqrt{x} \ln x \cdot \mathrm{d} x\)
\(\begin{array}{l} \text { Đăt: } t=\sqrt{x} \Rightarrow \mathrm{d} t=\frac{1}{2 \sqrt{x}} \mathrm{d} x \Rightarrow 2 t \mathrm{d} t=\mathrm{d} x \\ \Rightarrow I=2 \int t^{2} \ln t^{2} \cdot \mathrm{d} t=4 \int t^{2} \ln t \cdot \mathrm{d} t \end{array}\)
\(\text { Đặt: }\left\{\begin{array}{l} u=\ln t \\ \mathrm{d} v=t^{2} \mathrm{d} t \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \mathrm{d} u=\frac{1}{t} \mathrm{d} t \\ v=\frac{t^{3}}{3} \end{array}\right.\right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow I=2\left(\frac{1}{3} t^{3} \ln t-\frac{1}{3} \int t^{2} \mathrm{d} t\right)=2\left(\frac{1}{3} t^{3} \ln t-\frac{1}{9} t^{3}+C\right)\\ =\frac{2}{9} t^{3}(3 \ln t-1)+C \\ =\frac{2}{9} x^{\frac{3}{2}}(3 \ln \sqrt{x}-1)+C \\ =\frac{1}{9} x^{\frac{3}{2}}(3 \ln x-2)+C \end{array}\)
