Tìm m để hàm số \(y=\frac{(m+1) x-1}{2 m x+1}\) đồng biến trên khoảng (0;1).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+ TH1: Với m =0 hàm số trở thành y=x-1 là hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên đồng biến trên khoảng (0;1).
+TH2: Với \(m\ne0\) ta có;
\(y'=\frac{3m+1}{(2mx+1)^2}\)
Hàm số dồng biến trên khoảng (0;1) khi và chỉ khi
\(\left\{\begin{array}{c} -\frac{1}{2 m} \notin(0 ; 1) \\ m+1+2 m>0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c} -\frac{1}{2 m} \notin(0 ; 1) \\ m>-\frac{1}{3} \end{array}\right.\right.\)
Xét hàm số \(g(m)=-\frac{1}{2 m} \text { trên khoảng }\left(-\frac{1}{3} ;+\infty\right)\). ta có:
\(g^{\prime}(m)=\frac{1}{2 m^{2}}>0, \forall m \neq 0\)
bảng biến thiên hàm số g(m) trên \(\left(-\frac{1}{3} ;+\infty\right)\)
\(g(m) \notin(0 ; 1), \forall m \in\left(-\frac{1}{3} ;+\infty\right) \backslash\{0\}\)
Từ hai trường hợp suy ra \(m<-\frac{1}{3}\)