Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = sin ^2x + 3sin 2x + 3cos ^2x \)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\(\begin{array}{l} y = {\sin ^2}x + 3\sin 2x + 3{\cos ^2}x = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 3\sin 2x + 2{\cos ^2}x\\ = 1 + 3\sin 2x + 2{\cos ^2}x = 1 + 3\sin 2x + 1 + \cos 2x = 2 + 3\sin 2x + \cos 2x \end{array}\)
Dấu “=” xảy ra
\(\begin{array}{l} \Rightarrow y - 2 = 3\sin 2x + \cos 2x \Rightarrow {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {3\sin 2x + \cos 2x} \right)^2}\\ \le \left( {{3^2} + {1^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right) = 10 \Rightarrow - \sqrt {10} \le y - 2 \le \sqrt {10} \Rightarrow 2 - \sqrt {10} \le y \le 2 + \sqrt {10} \\ \Leftrightarrow \frac{{\sin 2x}}{3} = \frac{{\cos 2x}}{1} \Leftrightarrow \tan 2x = 3 \Leftrightarrow 2x = \arctan 3 + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{\arctan 3}}{2} + \frac{{k\pi }}{2} \end{array}\)
