Tích phân \(\int\limits_0^\pi {\left( {3x + 2} \right){{\cos }^2}x\,{\rm{d}}x} \) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(I = \int\limits_0^\pi {\left( {3x + 2} \right){{\cos }^2}x\,{\rm{d}}x} \). Ta có:
\( = \frac{1}{2}\int\limits_0^\pi {\left( {3x + 2} \right)\left( {1 + \cos 2x} \right)\,{\rm{d}}x} \)
\( = \frac{1}{2}\left[ {\int\limits_0^\pi {\left( {3x + 2} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^\pi {\left( {3x + 2} \right)\cos 2x\,{\rm{d}}x} } \right] = \frac{1}{2}\left( {{I_1} + {I_2}} \right)\)
\({I_1} = \int\limits_0^\pi {\left( {3x + 2} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\frac{3}{2}{x^2} + 2x} \right)} \right|_0^\pi = \frac{3}{2}{\pi ^2} + 2\pi \)
\({I_2} = \int\limits_0^\pi {\left( {3x + 2} \right)\cos 2x\,{\rm{d}}x} \). Dùng tích phân từng phần
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 3x + 2\\{\rm{d}}v = \cos 2x\,{\rm{d}}x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = 3\,{\rm{d}}x\\v = \frac{1}{2}\sin 2x\end{array} \right.\)
Khi đó
\({I_2} = \left. {\frac{1}{2}\left( {3x + 2} \right)\sin 2x} \right|_0^\pi – \frac{3}{2}\int\limits_0^\pi {\sin 2x\,{\rm{d}}x} \)
\( = 0 + \left. {\frac{3}{4}\left( {cos2x} \right)} \right|_0^\pi = 0\)
Vậy \(I = \frac{1}{2}\left( {\frac{3}{2}{\pi ^2} + 2\pi } \right) = \frac{3}{4}{\pi ^2} + \pi \)
Câu hỏi liên quan
-
Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^{2}-4,y=2 x-4, x=0, x=2\) , x = 0 , x = 2 quanh trục Ox.
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Hình phẳng được đánh dấu trong hình vẽ bên có diện tích là:
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = {(x - 6)^2}\) và \(y = 6x - {x^2}\) là:
-
Kết quả \(I=\int_{0}^{1} \frac{x}{4-x^{2}} d x\) là
-
Tập hợp giá trị của m sao cho \(\mathop \smallint \nolimits_0^m \left( {2x - 4} \right)dx = 5\) là
-
Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [1;2] . Biết rằng \(F(1)=1, F(2)=4, G(1)=\frac{3}{2}, G(2)=2 \text { và } \int\limits_{1}^{2} f(x) G(x) d x=\frac{67}{12}\) . Tích phân \(\int_{1}^{2} F(x) g(x) d x\) có giá trị bằng
-
Cho tích phân \(I = \mathop \smallint \limits_2^3 \frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^3} + 1} }}\). Xác định 3a+b biết \(I = a\ln \left( {29 - 2\sqrt {27} } \right) + b\ln 3 + a\ln 2.\) \( (a,b \in \mathbb{R})\)
-
Giá trị nào của b để \(\int_{1}^{b}(2 x-6) d x=0 ?\)
-
Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên R và thỏa mãn \(\int_{0}^{3} x \cdot f^{\prime}(2 x-4) \mathrm{d} x=8 ; f(2)=2 . \text { Tính } I=\int_{-2}^{1} f(2 x) \mathrm{d} x\)?
-
Tính \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamysaiabg2 % da9maapehabaGaamiEaiaadwgadaahaaWcbeqaaiaaikdacaWG4baa % aOGaaeizaiaadIhaaSqaaiaaicdaaeaacaaIXaaaniabgUIiYdaaaa!4161! I = \int\limits_0^1 {x{e^{2x}}{\rm{d}}x} \)
-
Biết \(\mathop \smallint \nolimits_0^b \left( {2x - 4} \right)dx = 0\). Khi đó b nhận giá trị bằng:
-
Tính: \(\displaystyle \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {4 + 5\ln x} }}{x}} dx\)
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa mãn \(f\left(x^{3}+1\right)=2 x-1, \forall x \in \mathbb{R}\). Tính \(I=\int_{0}^{2} f(x) d x\)
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa \(3 f^{2}(x) \cdot f^{\prime}(x)-4 x e^{-f^{3}(x)+2 x^{2}+x+1}=1=f(0)\). Biết rằng \(I=\int_{0}^{\frac{-1+\sqrt{4089}}{4}}(4 x+1) f(x) \mathrm{d} x=\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(T=a-3 b\)
-
Cho hàm số f(x)>0 có đạo hàm liên tục trên \(\left[0, \frac{\pi}{3}\right]\) , đồng thời thỏa mãn \(f^{\prime}(0)=0 ; f(0)=1 \text { và } f^{\prime \prime}(x) \cdot f(x)+\left[\frac{f(x)}{\cos x}\right]^{2}=\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}\). Tính \(T=f\left(\frac{\pi}{3}\right)\)
-
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f(1) = 1 và \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 f\left( x \right)dx = 2\). Tính tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 f'\left( {\sqrt x } \right)dx\)
-
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \(\sqrt x \), trục hoành và hai đường thẳng x = 1 ; x = 4 là
-
Tính tích phân sau \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} x\;\sin xdx\)
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - x}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\ x&{{\rm{ khi }}x < 0} \end{array}} \right.\). Khi đó \(I=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\cos xf\left( \sin x \right)}dx\) bằng
-
Cho tích phân \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 2} \). Tính tích phân \(J = \int\limits_0^2 {\left[ {3f\left( x \right) – 2} \right]{\rm{d}}x} \).
