Tam giác ABC có độ dài ba trung tuyến lần lượt là 9; 12; 15 . Diện tích
của tam giác ABC bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiÁp dụng tính chất đường trung tuyến ta có
\(\left\{\begin{array}{l} m_{a}^{2}=\frac{b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4}=81 \\ m_{b}^{2}=\frac{a^{2}+c^{2}}{2}-\frac{b^{2}}{4}=144 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a^{2}=292 \\ b^{2}=208 \\ c^{2}=100 \end{array}\right. \\ m_{c}^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{2}-\frac{c^{2}}{4}=225 \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} a=2 \sqrt{73} \\ b=4 \sqrt{13} \\ c=10 \end{array}\right.\right.\)
Áp dụng đinh lí Cosin cho tam giác ABC ta có:
\(\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{208+100-292}{2.4 \sqrt{13} \cdot 10}=\frac{1}{5 \sqrt{13}}\)
Lại có
\(\sin A=\sqrt{1-\cos ^{2} A}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{5 \sqrt{13}}\right)^{2}}=\frac{18 \sqrt{13}}{65}\)
Khi đó diện tích tam giác ABC là \(S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} \cdot 4 \sqrt{13} \cdot 10 \cdot \frac{18 \sqrt{13}}{65}=72\)
