Rút gọn ta được \(A=\frac{\mathrm{C}_{n}^{3} \mathrm{C}_{n}^{1}}{\left(\mathrm{C}_{n}^{2}\right)^{2}}+\frac{\mathrm{P}_{n} \mathrm{P}_{n+1}(n-1)^{2} n^{2}}{4\left(\mathrm{C}_{n}^{2} \cdot n !\right)^{2}}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} A &=\frac{\frac{n !}{3 !(n-3) !} \cdot \frac{n !}{1 !(n-1) !}}{\left(\mathrm{C}_{n}^{2}\right)^{2}}+\frac{n !(n+1) !(n-1)^{2} n^{2}}{4 \cdot\left(\mathrm{C}_{n}^{2}\right)^{2} \cdot(n !)^{2}} \\ &=\frac{(n-2)(n-1) n^{2}}{3 \cdot\left(\mathrm{C}_{n}^{2}\right)^{2}}+\frac{(n+1)(n-1)^{2} n^{2}}{4 \cdot\left(\mathrm{C}_{n}^{2}\right)^{2}} \\ &=\frac{(n-2)(n-1) n^{2}}{3 \cdot n ! \cdot n !} \cdot 2 ! \cdot 2 ! \cdot(n-2) !(n-2) !+\frac{(n+1)(n-1)^{2} n^{2} \cdot 2 ! \cdot 2 ! \cdot(n-2) !(n-2) !}{4 \cdot n ! \cdot n !} \\ &=\frac{4}{3} \cdot \frac{(n-2)(n-1) n^{2}}{(n-1)^{2} n^{2}}+\frac{(n+1)(n-1)^{2} n^{2}}{(n-1)^{2} n^{2}} \\ &=\frac{4}{3} \cdot \frac{n-2}{n-1}+n+1=\frac{4(n-2)+3\left(n^{2}-1\right)}{3(n-1)}=\frac{3 n^{2}+4 n-11}{3(n-1)} \end{aligned}\)
