Phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A(1; 4), B(0; 1), C(4; 3)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi I(a; b) là tâm của đường tròn (C), khi đó ta có:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AI} \left( {a - 1;b - 4} \right) \Rightarrow AI = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}} \\ \overrightarrow {BI} \left( {a;b - 1} \right) \Rightarrow BI = \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} \\ \overrightarrow {CI} \left( {a - 4;b - 3} \right) \Rightarrow \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {{\left( {b - 3} \right)}^2}} \end{array}\)
Vì đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C nên ta có:
AI = BI = CI = R
Khi đó ta có hệ phương trình sau:
\(\begin{array}{*{20}{l}} { \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sqrt {{{(a - 1)}^2} + {{(b - 4)}^2}} = \sqrt {{a^2} + {{(b - 1)}^2}} }\\ {\sqrt {{{(a - 4)}^2} + {{(b - 3)}^2}} = \sqrt {{a^2} + {{(b - 1)}^2}} } \end{array}} \right.}\\ { \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a^2} - 2a + 1 + {b^2} - 8b + 16 = {a^2} + {b^2} - 2b + 1}\\ {{a^2} - 8b + 16 + {b^2} - 2b + 1} \end{array}} \right.}\\ { \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a + 3b = 8}\\ {2a + b = 6} \end{array}} \right.}\\ { \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {5b = 10}\\ {2a + b = 6} \end{array}} \right.}\\ { \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {b = 2}\\ {a = 2} \end{array}} \right.} \end{array}\)
Suy ra tâm I(2; 2)
Bán kính của đường tròn (C) là: \(R{\rm{ }} = \;\sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{2^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 5 \)
Phương trình đường tròn (C) là:
\(\begin{array}{l} {\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}--{\rm{ }}2} \right)^2}\; = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; = {\rm{ }}5 \end{array}\)
Vậy phương trình đường tròn (C) là (x – 2)2 + (y – 2)2 = 5
