Nghiệm của phương trình \(\sqrt[3]{{\dfrac{1}{2} + x}} + \sqrt {\dfrac{1}{2} - x} = 1\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK: \(\frac{1}{2} - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{1}{2}\)
Đặt \(u = \sqrt[3]{{\dfrac{1}{2} + x}},v = \sqrt {\dfrac{1}{2} - x} \), điều kiện \(v \ge 0\).
Ta được hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}u + v = 1\\{u^3} + {v^2} = 1\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
v = 1 - u\\
{u^2} + {\left( {1 - u} \right)^2} = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
v = 1 - u\\
{u^3} + 1 - 2u + {u^2} = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 1 - u(1)\\{u^3} + {u^2} - 2u = 0(2)\end{array} \right.\)
(2)\( \Leftrightarrow u({u^2} + u - 2) = 0\).
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
u = 0\\
{u^2} + u - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
u = 0\\
u = 1\\
u = - 2
\end{array} \right.\)
+Với \(u = 0\) ta có \(v = 1\) (TM)
\( \Rightarrow \sqrt {\frac{1}{2} - x} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} - x = 1 \) \(\Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}\)
+Với \(u = 1\) ta có \(v = 0\) (TM)
\( \Rightarrow \sqrt {\frac{1}{2} - x} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} - x = 0 \) \(\Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\)
+Với \(u = - 2\) ta có \(v = 3\) (TM)
\( \Rightarrow \sqrt {\frac{1}{2} - x} = 3 \Leftrightarrow \frac{1}{2} - x = 9\) \( \Leftrightarrow x = - \frac{{17}}{2}\)
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm
\(x_1 = - \dfrac{1}{2}\), \(x_2 = \dfrac{1}{2}\)và \(x_3 = - \dfrac{{17}}{2}\).
