Nghiệm của phương trình \(4^{\log _{2} 2 x}=4^{\log _{2} 6}=2.3^{\log _{2} 4 x^{2}}\) có dạng \(\frac{a}{b}\) tối giản, tính a+ b
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK: \(0<x \neq 1\)
Ta có \(4^{\log _{2} 2 x}-x^{\log _{2} 6}=2.3^{\log _{2} 4 x^{2}} \Leftrightarrow 4^{1+\log _{2} x}-6^{\log _{2} x}=2.3^{2+2 \log _{2} x} \Leftrightarrow 4.4^{\log _{2} x}-6^{\log _{2} x}=19.9^{\log _{2} x}\,\,\,\,(1)\)
Chia hai vế cho \(4^{\log _{2} x}\)
\((1) \Leftrightarrow 18 \cdot\left(\frac{9}{4}\right)^{\log _{2} x}+\left(\frac{3}{2}\right)^{\log _{2} x}-4=0\)
Đặt \(t=\left(\frac{3}{2}\right)^{\log _{2} x}>0\)
\(P T \Rightarrow 18 t^{2}+t-4=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} t=\frac{4}{9} \\ t=-\frac{1}{2}(loại) \end{array}\right.\)
\(\left(\frac{3}{2}\right)^{\log _{2} x}=\left(\frac{4}{9}\right)=\left(\frac{3}{2}\right)^{-2} \Leftrightarrow \log _{2} x=-2 \Leftrightarrow x=2^{-2}=\frac{1}{4}\) thỏa điều kiện.
\(\Rightarrow a=1, b=4\Rightarrow a + b =5\)
