Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số sau đây \(y=f(x)=\frac{x^{2}+3 x-1}{x-2}\) và \(y=g(x)=-\frac{1}{6} x^{2}+\frac{5}{3} x+\frac{53}{6}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(x_0\) là hoành độ giao điểm của f(x) và g(x). Ta có:
\(\left\{\begin{array}{l} \frac{x_{0}^{2}+3 x_{0}-1}{x_{0}-2}=-\frac{1}{6} x_{0}^{2}+\frac{5}{3} x_{0}+\frac{53}{6}\,\,\,\,\,(1) \\ \frac{x_{0}^{2}-4 x_{0}-5}{\left(x_{0}-2\right)^{2}}=-\frac{x_{0}}{3}+\frac{5}{3}\,\,\,\,\,\,\,(2) \end{array}\right.\)
Hệ trên có bao nhiêu nghiệm thì phương trình có bấy nhiêu tiếp tuyến chung. Ta có:
\(\text { (1) } \Rightarrow x_{0}^{3}-6 x_{0}^{2}-15 x_{0}+100=0 \Rightarrow\left[\begin{array}{l} x=-4 \\ x=5 \end{array}\right.\)
\(\Rightarrow x_{0}^{3}-6 x_{0}^{2}+12 x_{0}-35=0 \Rightarrow x_{0}=5\)
Vậy \(x_0=5\) là nghiệm của hệ trên.
Vậy tọa độ tiếp điểm A(5;13)
và hệ số góc \(k=f^{\prime}(5)=g^{\prime}(5)=0\)
Khi đó phương trình tiếp tuyến chung có dạng:
\(y=0(x-5)+13 \Leftrightarrow y=13\)
