Gọi z = a + bi \(\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) là số phức thỏa mãn điều kiện \(\left| {z – 1 – 2i} \right| + \left| {z + 2 – 3i} \right| = \sqrt {10} \) và có mô đun nhỏ nhất. Tính S = 7a + b?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.jpg.png)
Gọi \(M\left( {a;b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức z = a + bi
\(A\left( {1;2} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(\left( {1 + 2i} \right)\)
\(B\left( { – 2;3} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(\left( { – 2 + 3i} \right), AB = \sqrt {10} \)
\(\left| {z – 1 – 2i} \right| + \left| {z + 2 – 3i} \right| = \sqrt {10} \) trở thành MA + MB = AB
\( \Leftrightarrow M,A,B\) thẳng hàng và M ở giữa A và B
Gọi H là điểm chiếu của O lên AB, phương trình \(\left( {AB} \right):x + 3y – 7 = 0, \left( {OH} \right):3x – y = 0\)
Tọa độ điểm \(H\left( {\frac{7}{{10}};\frac{{21}}{{10}}} \right)\), Có \(\overrightarrow {AH} = \left( { – \frac{3}{{10}};\frac{1}{{10}}} \right), \overrightarrow {BH} = \left( {\frac{{27}}{{10}}; – \frac{9}{{10}}} \right)\) và \(\overrightarrow {BH} = – 9\overrightarrow {AH} \)
Nên H thuộc đoạn AB
\(\left| z \right|\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow OM\) nhỏ nhât, mà M thuộc đoạn AB.
\( \Leftrightarrow M \equiv H\left( {\frac{7}{{10}};\frac{{21}}{{10}}} \right)\)
Lúc đó \(S = 7a + b = \frac{{49}}{{10}} + \frac{{21}}{{10}} = 7\).
