Gọi a là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn \(3 \log _{3}(1+\sqrt{a}+\sqrt[3]{a})>2 \log _{2} \sqrt{a}\)) . Tìm phần nguyên của \(P=\log _{2}(2018 a)\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Đặt } 2 \log _{2} \sqrt{a}=t \Leftrightarrow \sqrt{a}=2^{\frac{t}{2}} \Leftrightarrow a=2^{t} . \text { Khi đó bất phương trình trở thành }\\ &3 \log _{3}\left(1+2^{\frac{t}{2}}+2^{\frac{t}{3}}\right)>t \Leftrightarrow 1+2^{\frac{t}{2}}+2^{\frac{t}{3}}>3^{\frac{t}{3}} \Leftrightarrow\left(\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)^{t}+\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{3}}\right)^{t}+\left(\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}}\right)^{t}>1&(1)\\ &\text { Xét hàm số } f(t)=\left(\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)^{t}+\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{3}}\right)^{t}+\left(\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}}\right)^{t}, t \in \mathbb{R} \text { . } \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Ta có } f^{\prime}(t)=\left(\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)^{t} \ln \frac{1}{\sqrt[3]{3}}+\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{3}}\right)^{t} \ln \frac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{3}}+\left(\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}}\right)^{t} \ln \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}}<0, \forall t \in \mathbb{R} \text { nên hàm số là hàm nghịch }\\ &\text { biến trên } \mathbb{R} \text { . Nhận thấy } f(12)=1 \text { nên ta có: } \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &(1) \Leftrightarrow f(t)>f(12) \Leftrightarrow t<12 \Rightarrow 2 \log _{2} \sqrt{a}<12 \Leftrightarrow \sqrt{a}<2^{6} \Leftrightarrow a<2^{12}\\ &\text { Do đó số } a \text { nguyên dương lớn nhất là } 2^{12}-1 \text { . } \end{aligned}\)
\(\text { Suy ra } P=\log _{2}\left[2018\left(2^{12}-1\right)\right] \approx 22,9783 \text { . Vậy phần nguyên của } P \text { là } 22 \text { . }\)
