Để vẽ hypebol (H) bạn An đã thực hiện các bước như sau:

Vẽ hypebol (H) với a = 3, b = 4. (H) có các đỉnh là A₁(– 3; 0), A₂(3; 0).

Bước 1. Vẽ hình chữ nhật cơ sở có bốn cạnh thuộc bốn đường thẳng x = –3, x = 3, y = – 4, y = 4.

Bước 2. Vẽ hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở.

Tim một số điểm cụ thể thuộc hypebol, chẳng hạn ta thấy điểm\(M\left( {5;\frac{{16}}{3}} \right)\) thuộc (H). Do đó các điểm\({M_1}\left( {5; - \frac{{16}}{3}} \right),{M_2}\left( { - 5;\frac{{16}}{3}} \right),{M_3}\left( { - 5; - \frac{{16}}{3}} \right)\) thuộc (H).

Bước 3. Vẽ đường hypebol bên ngoài hình chữ nhật cơ sở; nhánh bên trái tiếp xúc với cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại điểm A₁(– 3; 0) và đi qua M₂, M₃; nhánh bên phải tiếp xúc với cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại điểm A₂(3; 0) và đi qua M, M₁. Vẽ các điểm thuộc hypebol càng xa gốc toạ độ thi càng sát với đường tiệm cận. Hypebol nhận gốc toạ độ là tâm đối xứng và hai trục toạ độ là hai trục đối xứng.

Bằng cách này, em hãy cho biết bạn An đã vẽ được  hypebol (H) có phương trình như thế nào?

Cho elip ((E):x² + 4y² - 40 = 0. Chu vi hình chữ nhật cơ sở là:

Tìm phương trình chính tắc của elip, biết elip có tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm \(M(\sqrt{15} ;-1)\)

Phương trình của elip (E) có độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng 6 là: 

Cho elip \((E): \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1 .\) Khoảng cách giữa hai đường chuẩn của elip là:

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm \(F\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\),đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}y{\rm{ }} + \frac{1}{2} = 0\) và điểm M(x; y). Hệ thức giữa x và y là:

Hoạt động 7 trang 53 Chuyên đề Toán 10: Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)với a > 0, b > 0. Xét đường thẳng \({\Delta _1}:x = - \frac{a}{e}\)

Với mỗi điểm M (x₀; y₀) ∈ (H) (Hình 17), tính:

a) Khoảng cách d (M, Δ₁) từ điểm M(x₀; y₀) đến đường thẳng Δ₁.

Viết phương trình chính tắc của đường elip (E) biết (E) có một tiêu điểm là \(F(\sqrt 3 ;0)\) và đi qua điểm \(M\left( {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right).\)

Cho elip (E) : \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {0 < b < a} \right)\). Tính tỉ số \(\dfrac{c}{a}\) biết khoảng cách giữa đỉnh trên trục nhỏ và đỉnh trên trục lớn bằng tiêu cự.

Phương trình nào cho sau đây là phương trình chính tắc của hypebol? 

Cho hypebol có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{144}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1.\). Giả sử M là điểm thuộc hypebol có hoành độ là 15. Tìm độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M.

Điểm nào là tiêu điểm của parabol \(y^{2}=5 x ?\)

Viết phương trình của elip (E) có độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng 6.

Lấy một tấm bìa, trên đó đánh dấu hai điểm F1 và F2. Lấy một cây thước thẳng với mép thước AB có chiều dài d và một đoạn dây không đàn hồi có chiều dài l sao cho d – l = 2a nhỏ hơn khoảng cách F1F2 (Hình 6a). Đính một đầu dây vào đầu A của thước nhưng đổi chỗ cố định đầu dây còn lại vào F1, đầu B của thước trùng với F2 sao cho đoạn thẳng BA có thể quay quanh F2 và làm tương tự như lần đầu để đầu bút chì M vẽ được một nhánh khác của đường H (Hình 6c). Tính MF2 – MF1

Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là 80 cm và trục nhỏ là 40 cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80 cm × 40 cm, người ta vẽ hình elip đó lên ván ép như hướng dẫn sau:

Chuẩn bị:

- Hai cái đinh, một vòng dây kín không đàn hồi, bút chì.

Thực hiện:

- Xác định vị trí (hai tiêu điểm của elip) và ghim hai cái đinh lên hai điểm đó trên tấm ván.

- Quàng vòng dây qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường elip. (xem minh họa trong Hình 15).

Phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu xentimét và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

Tìm các tiêu điểm và đường chuẩn của hypebol có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{11}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1.\)

Dọc theo bờ biển, người ta thiết lập hệ thống định vị vô tuyến dẫn đường tầm xa để truyền tín hiệu cho máy bay hoặc tàu thuỷ hoạt động trên biển. Trong hệ thống đó có hai đài vô tuyến đặt lần lượt tại địa điểm A và địa điểm B, khoảng cách AB = 650 km (Hình 18). Giả sử có một con tàu chuyển động trên biển với quỹ đạo là hypebol nhận A và B là hai tiêu điểm.

Khi đang ở vị trí P, máy thu tín hiệu trên con tàu chuyển đổi chênh lệch thời gian nhận các tín hiệu từ A và B thành hiệu khoảng cách |P_A – P_B|. Giả sử thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A là 0,0012 s. Vận tốc di chuyển của tín hiệu là 3 . 10⁸ m/s. Phương trình hypebol mô tả quỹ đạo chuyển động của con tàu là:

Tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục thực và trục ảo của các hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\):

Cho parabol có phương trình chính tắc y² = 2x. Tìm tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của parabol?

Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) có tiêu cự bằng:

Tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của parabol y² = x: