Đặt một hiệu điện thế xoay chiều \(u=120\sqrt{2}\cos \left( 100\pi t \right)\text{ }(V)\) vào hai đầu một mạch điện xoay chiều nối tiếp gồm R1 và cuộn dây thuần cảm L thì u lệch pha so với i là \(\frac{\pi }{4}\) đồng thời \(I=1,5\sqrt{2}\text{ }A.\) Sau đó, nối tiếp thêm vào mạch trên điện trở R2 và tụ C thì công suất tỏa nhiệt trên R2 là 90 W. Giá trị của R2 và C phải là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiKhi mạch chỉ chứa R1 và L:
+ Tổng trở của mạch: \(Z=\frac{U}{I}=\frac{120}{1,5\sqrt{2}}=40\sqrt{2}\text{ }\Omega \text{.}\)
+ Điện trở R1 và ZL: \(\left\{ \begin{align} & {{R}_{1}}=Z.cos\frac{\pi }{4}=40\text{ }\Omega \\ & {{Z}_{L}}=Z.sin\frac{\pi }{4}=40\text{ }\Omega \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{R}_{1}}={{Z}_{L}}=40\text{ }\Omega .\)
Khi mạch nối tiếp thêm R2 và tụ C:
+ Tổng trở của mạch: \(Z=\sqrt{{{\left( {{R}_{1}}+{{R}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{R}_{1}}+{{R}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{R}_{1}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}.\)
+ Công suất tiêu thụ của R2: \(P=\frac{{{U}^{2}}}{{{Z}^{2}}}.{{R}_{2}}\Rightarrow P=\frac{{{U}^{2}}.{{R}_{2}}}{{{\left( {{R}_{1}}+{{R}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{R}_{1}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}.\)
Theo đề bài, ta có:
\(\text{ }\frac{{{120}^{2}}.{{R}_{2}}}{{{\left( 40+{{R}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( 40-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=90\)
\(\Leftrightarrow 160{{R}_{2}}=1600+80{{R}_{2}}+R_{2}^{2}+1600-80{{Z}_{C}}+Z_{C}^{2}\)
\(\Leftrightarrow Z_{C}^{2}-80{{Z}_{C}}+R_{2}^{2}-80{{R}_{2}}+3200=0.\) (1)
Chỉ có 1 giá trị của ZC nên phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất. Khi đó,
\(\text{ }\Delta '={{\left( -40 \right)}^{2}}-\left( R_{2}^{2}-80{{R}_{2}}+3200 \right)=0\)
\(\Leftrightarrow R_{2}^{2}-80{{R}_{2}}+1600=0\)
\(\Rightarrow {{R}_{2}}=40\text{ }\Omega \text{.}\)
Với \({{R}_{2}}=40\text{ }\Omega \Rightarrow {{Z}_{C}}=\frac{40}{1}=40\text{ }\Omega \Rightarrow \text{C}=\frac{1}{\omega .{{Z}_{C}}}=\frac{2,{{5.10}^{-4}}}{\pi }\text{ F}\text{.}\)
