Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {z – 6} \right| = 2\sqrt 5 \) và \({z^2}\) là số thuần ảo?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = a – bi\)
Theo giả thiết:
\(\left| {z – 6} \right| = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {a + bi – 6} \right| = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow {\left( {a – 6} \right)^2} + {b^2} = 20 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} – 12a + 16 = 0\) (1).
Mặt khác \({z^2} = {\left( {a + bi} \right)^2} = {a^2} – {b^2} + 2abi\) là số thuần ảo nên \({a^2} – {b^2} = 0\) hay \({a^2} = {b^2}\).
Thay \({b^2} = {a^2}\) vào (1), ta được: \( \Leftrightarrow {a^2} + {a^2} – 12a + 16 = 0 \Leftrightarrow 2{a^2} – 12a + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 4\\a = 2\end{array} \right.\)
Với a = 4, ta có: \( \Rightarrow b = \pm 4\)
Với a = 2, ta có: \( \Rightarrow b = \pm 2\).
Vậy có 4 số phức z thỏa đề: \(z = 4 + 4i,z = 4 – 4i,z = 2 + 2i,z = 2 – 2i\).
