Cho x + y = a + b; \(x^2 + y^2= a^2 + b^2\) Với (n thuộc N*), chọn câu đúng.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\( {x^2} + {y^2} = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow {x^2} - {a^2} = {b^2} - {y^2} \Leftrightarrow \left( {x - a} \right)\left( {x + a} \right) = \left( {b - y} \right)\left( {b + y} \right)\)
Mà \(x+y=a+b⇔x−a=b−y\) nên ta có:
\(\begin{array}{l} \left( {x - a} \right)\left( {x + a} \right) = \left( {x - a} \right)\left( {b + y} \right) \Leftrightarrow (x - a)(x + a) - (x - a)(b + y) = 0\\ \Leftrightarrow (x - a)(x + a - b - y) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = a\\ x - y = b - a \end{array} \right. \end{array}\)
+ Với x=a mà
\( x + y = a + b \Rightarrow a + y = a + b \Rightarrow y = b\) . Từ đó ta có
\( {x^n} + {y^n} = {a^n} + {b^n}\forall n \in {N^ * }\)
+ Với
\(\begin{array}{l} x - y = b - a\\ x + y = a + b\\ \to 2x = 2b \Leftrightarrow x = b \Rightarrow y = a\\ \to {x^n} + {y^n} = {a^n} + {b^n}\forall n \in {N^ * } \end{array}\)
Vậy \( {x^n} + {y^n} = {a^n} + {b^n}\forall n \in {N^ * }\)
