Cho tứ giác ABCD có AB ⊥ CD; AB = 2; BC = 13; CD = 8; DA = 5 (H.6.21). Gọi H là giao điểm của AB và CD và đặt x = AH. Hãy thiết lập một phương trình để tính độ dài x, từ đó tính diện tích tứ giác ABCD.

Đặt AH = x, x > 0.

Khi đó theo định lí Pythagore trong tam giác AHD vuông tại H, ta có:

AD²= AH² + HD² ⇔ HD² = AD² – AH² = 5² – x² = 25 – x².

Suy ra \(HD=\sqrt {25 - {x^2}} \)

Ta lại có 

\(\begin{array}{l} HC{\rm{ }} = {\rm{ }}HD{\rm{ }} + {\rm{ }}DC = \sqrt {25 - {x^2}} + 8\\ HB{\rm{ }} = {\rm{ }}AH{\rm{ }} + {\rm{ }}AB{\rm{ }} = {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2 \end{array}\)

Theo định lí Pythagore trong tam giác HBC vuông tại H, ta có: BC² = HB² + HC² 

\(\begin{array}{*{20}{l}} { \Leftrightarrow \;132\; = \left( {x + 2} \right)2\; + {{\left( {\sqrt {25 - {x^2}} + 8} \right)}^2}}\\ { \Leftrightarrow \;{x^2}\; + 4x + 4 + 25 - {x^2}\; + 16\;\sqrt {25 - {x^2}} + 64 - 169 = 0}\\ { \Leftrightarrow \;16\sqrt {25 - {x^2}} = - 4x + 76}\\ { \Leftrightarrow \;4\sqrt {25 - {x^2}} = 19 - x} \end{array}\)

Để tính x, ta cần giải phương trình: 

\(4\sqrt {25 - {x^2}} = {\rm{ }}19{\rm{ }}-{\rm{ }}x{\rm{ }}\;\left( * \right)\)

Bình phương hai vế của phương trình (*) ta được:

\(\begin{array}{l} 16.\left( {25{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^2}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2}\;-{\rm{ }}38x{\rm{ }} + {\rm{ }}361\\ \Leftrightarrow \;17{x^2}\;-{\rm{ }}38x{\rm{ }}-{\rm{ }}39{\rm{ }} = {\rm{ }}0\;\\ \Leftrightarrow \;\left[ \begin{array}{l} x{\rm{ }} = {\rm{ }}3\\ x = - \frac{{13}}{{17}} \end{array} \right. \end{array}\)

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình (*), ta thấy hai giá trị x = 3 và \(x = - \frac{{13}}{{17}}\)

đều thỏa mãn.

Vì điều kiện của x là x > 0 nên ta chọn x = 3.

Vậy ta tính được AH = 3.

Suy ra \(HD{\rm{ }} = \sqrt {25 - {3^2}} = 4;HC{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }} + {\rm{ }}8{\rm{ }} = {\rm{ }}12;{\rm{ }}HB{\rm{ }} = {\rm{ }}3{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}5\)

Diện tích tam giác HAD là \({S_{HAD}}\; = \frac{1}{2}HA{\rm{ }}.{\rm{ }}HD{\rm{ }} = \frac{1}{2}.{\rm{ }}3{\rm{ }}.{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}6\)

Diện tích tam giác HBC là \({S_{HBC}}\; = \frac{1}{2}HB{\rm{ }}.{\rm{ }}HC{\rm{ }} = \frac{1}{2}.{\rm{ }}5{\rm{ }}.{\rm{ }}12{\rm{ }} = {\rm{ }}30\)

Vậy diện tích tứ giác ABCD là S = S_HBC – S_HAD = 30 – 6 = 24 (đvdt).