Cho tứ diện đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của SA và BC. Tính cos góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)

A. \(\frac{{2\sqrt 3 }}{9}\)

B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

C. \(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

D. \(\frac{{\sqrt {69} }}{9}\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Môn: Toán Lớp 11

Chủ đề: Quan hệ vuông góc trong không gian

Bài: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Lời giải:

Báo sai

Giả sử tất các cạnh của hình chóp đều bằng 1.

Gọi O là tâm của đáy \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SBC, khi đó \(\sin \varphi = \frac{{d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{MN}}\).

Ta có \(\frac{{d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{MS}}{{AS}} = \frac{1}{2} \Rightarrow d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)\) (1)

Và \(\frac{{d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{AN}}{{ON}} = 3 \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = 3d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{3}{2}d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)\).

Kẻ \(OH \bot SN\).

Ta có \(BC \bot \left( {SAN} \right) \Rightarrow BC \bot OH\)

\(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot BC\\OH \bot SN\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH\).

Trong tam giác vuông SON ta có \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{N^2}}}\)

Trong đó \(SO = \sqrt {S{A^2} – O{A^2}} = \sqrt {{1^2} – {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\) và \(ON = \frac{1}{3}AN = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\)

\( \Rightarrow OH = \frac{{\sqrt 6 }}{9}\).

Ta có \(MN = \sqrt {S{N^2} – S{M^2}} = \sqrt {\frac{3}{4} – \frac{1}{4}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

\( \Rightarrow \sin \varphi = \frac{{OH}}{{MN}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{9} \Rightarrow \cos \varphi = \frac{{\sqrt {69} }}{9}\)