Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng (B C D). Biết tam giác BCD vuông tại C và \(A B=\frac{a \sqrt{6}}{2}, A C=a \sqrt{2}, C D=a\). Gọi E là trung điểm của AC (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng A B và DE bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gọi I là trung điểm của BC, suy ra \(E I \| A B\)
\(\begin{array}{l} \text { Khi dó }(A B, D E)=(E I, E D)=\widehat{I E D} \\ \text { Ta có }\left\{\begin{array}{l} D C \perp B C \text { (giả thiết) } \\ D C \perp A B(A B \perp(B C D)) \end{array} \Rightarrow D C \perp(A B C)\right. \end{array}\)
suy ra DC vuông góc với EC. Do đó
\(\begin{aligned} &D E^{2}=C D^{2}+E C^{2}=C D^{2}+\frac{A C^{2}}{4}=\frac{3 a^{2}}{2} \Rightarrow D E=\frac{a \sqrt{6}}{2}\\ &\text { Ta có } I E=\frac{A B}{2}=\frac{a \sqrt{6}}{4} \text { và } B C^{2}=A C^{2}-A B^{2}=\frac{a^{2}}{2} \text { . } \end{aligned}\)
Tam giác ICD vuông tại C nên
\(D I^{2}=C D^{2}+I C^{2}=C D^{2}+\frac{B C^{2}}{4}=\frac{9 a^{2}}{8}\)
Áp dụng định lý cô-sin cho tam giác IDE, ta có
\(\cos \widehat{I E D}=\frac{I E^{2}+D E^{2}-C D^{2}}{2 I E \cdot D E}=\frac{\frac{3 a^{2}}{8}+\frac{3 a^{2}}{2}-\frac{9 a^{2}}{8}}{2 \cdot \frac{a \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{a \sqrt{6}}{2}}=\frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{I E D}=60^o\)
