Cho tam giác ABC thỏa mãn: a.sinA + b.sinB + c.sinC = ha + hb + hc. Tìm mệnh đề đúng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiÁp dụng công thức diện tích ta có
\(S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}a{h_a}\)
Từ giả thiết: a.sinA + b.sinB + c.sinC = ha + hb + hc ta suy ra:
\(a.\frac{{2S}}{{bc}} + b.\frac{{2S}}{{ca}} + c.\frac{{2S}}{{ab}} = \frac{{2S}}{a} + \frac{{2S}}{b} + \frac{{2S}}{c}\)
Quy đồng khử mẫu ta được:
\(2{a^{2\;}} + {\rm{ }}2{b^{2\;}} + {\rm{ }}2{c^{2\;}} = {\rm{ }}2{\rm{ }}ab{\rm{ }} + {\rm{ }}2bc{\rm{ }} + {\rm{ }}2ca\) hay \({\rm{ }}\left( {a{\rm{ }} - {\rm{ }}b} \right){\;^{2\;}} + {\rm{ }}\left( {b{\rm{ }} - {\rm{ }}c} \right){\;^{2\;}} + {\rm{ }}\left( {c{\rm{ }} - {\rm{ }}a} \right){\;^{2\;}} = {\rm{ }}0\)
Do đó: a = b = c
Vậy tam giác ABC đều.
