Cho \( \smallint \sqrt[6]{{1 - {{\cos }^3}x}}\sin x{\cos ^5}xdx = 2\left( {\frac{{{t^\alpha }}}{\alpha } - \frac{{{t^\beta }}}{\beta }} \right)+C\) với \(t = \sqrt[6]{{1 - {{\cos }^3}x}}\) . Tỉ số \( \frac{\alpha }{\beta }\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\( \smallint \sqrt[6]{{1 - {{\cos }^3}x}}\sin x{\cos ^5}xdx = \smallint \sqrt[6]{{1 - {{\cos }^3}x}}.{\cos ^3}x.\sin x.{\cos ^2}xdx\)
Đặt
\(\begin{array}{l} t = \sqrt[6]{{1 - {{\cos }^3}x}}\\ {\cos ^3}x = 1 - {t^6}\\ \smallint t.(1 - {t^6}).2{t^5}.dt = \smallint (2{t^6} - 2{t^{12}}).dt = \frac{{2{t^7}}}{7} - {\frac{{2t}}{{13}}^{13}} + C = 2\left( {\frac{{{t^7}}}{7} - \frac{{{t^{13}}}}{{13}}} \right) + C\\ \Rightarrow \alpha = 7;\beta = 13 \Rightarrow \frac{\alpha }{\beta } = \frac{7}{{13}} \end{array}\)
