Cho số phức z=(1+i)n, biết n ∈ Z và thỏa mãn \({\log _2}\left( {8 - n} \right) + {\log _2}\left( {n + 3} \right) = {\log _2}\left( {10} \right)\). Tính môđun của số phức z.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK: −3 < n < 8
\(\begin{array}{l} lo{g_2}(8 - n) + lo{g_2}(n + 3) = lo{g_2}(10)\\ \Leftrightarrow lo{g_2}[(8 - n)(n + 3)] = lo{g_2}(10)\\ \Leftrightarrow - {n^2} + 5n + 24 = 10\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} n = 7(TM)\\ n = - 2(TM) \end{array} \right. \end{array}\)
TH1: n = 7
Khi đó \(z = {\left( {1 + i} \right)^n} = {\left( {1 + i} \right)^7}\)
Ta có
\(\begin{array}{l} 1 + i = \sqrt 2 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)\\ {\left( {1 + i} \right)^7} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^7}\left( {\cos \frac{{7\pi }}{4} + i\sin \frac{{7\pi }}{4}} \right) = 8\sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} - i\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 8 - 8i. \end{array}\)
TH2:n = −2 thì \(|z| = \frac{1}{2}.\)
Vậy \(|z| = 8\sqrt 2 \) hoặc \(|z| = \frac{1}{2}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hai số phức z = a+bi, z' = a'+b'i (a,b,a',b'∈R)
Tìm phần ảo của số phức zz'
-
Tổng phần thực và phần ảo của số phức z thoả mãn \( iz + (1- i)\overline z = -2i\)
bằng -
Cho số phức \(z=-3+2 i\) Tính môđun của số phức \(z+1-i\)
-
Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình \(2 z^{2}-6 z+5=0 . \text { Tìm } i z_{0} ?\)
-
Cho hai số phức \(z_1, z_2\) , thỏa mãn \(\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{1}-z_{2}\right|=1 . \text { Tính }\left|z_{1}+z_{2}\right|\)
-
Giả sử z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z2 - 2z + 5 = 0 và A, B là các điểm biểu diễn của z1 , z2 . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:
-
Cho số phức z thỏa \(z=(2-5 i)(1+i)^{4}\) . Mô đun của số phức z là:
-
Cho số phức \(z=a+b i(a, b \in \mathbb{R})\), thỏa mãn \((-2+2 i) z=10+6 i . \text { Tính } P=a+b\)
-
Điểm M trong hình bên là điểm biểu diễn cho số phức
-
Cho số phức z thỏa mãn (1 + i)(z - i) + 2z = 2i. Môđun của số phức \(w = \frac{{\overline z - 2z + 1}}{{{z^2}}}\) là
-
Cho số phức z = ( 3 - 2i)(1 + i) 2 . Môđun của \(w = iz + \overline z \) là
-
Cho hai số phức z , w thỏa mãn \(|z+2 w|=3,|2 z+3 w|=6 \text { và }|z+4 w|=7\) . Tính giá trị của biểu thức \(P=z \cdot \bar{w}+\bar{z} \cdot w\)
-
Số phức z thỏa mãn: \(z-(2+3 i) \bar{z}=1-9 i\) là
-
Môđun của số phức \(z=(2-3 i)(1+i)^{4}\)
-
Cho số phức z thỏa \((1+i)=14-2 i\) . Điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy có tọa độ là:
-
Xét các số phức z thỏa mãn \((z+2 i)(z+2) 1\) là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biễu diễn của z là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là
-
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
Cho số phức \(z_{1}=1+2 i \text { và } z_{2}=-2-2 i\) . Tìm môđun của số phức \(z_{1}-z_{2}\)
-
Tập hợp các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện sau đây: \(|z+\bar{z}+3|=4\) là
-
Cho hai số phức:\(z_1 = 2-3i , z_2 = -1+ i\) . Phần ảo của số phức \(w = 2z_1z_2 \) bằng
